mathphysschool

2019

Грассман, Гизекер, Слодови

Контакты:

Пререквизиты:

Знакомство с теорией представлений полупростых конечномерных алгебр Ли, начала алгебраической и симплектической геометрии (аффинные многообразия, гамильтонова редукция, линейные расслоения на проективных пространствах), векторные расслоения и пучки их сечений.

Программа

  1. ЛКолчанные многообразия Накаджимы – определение. Примеры – многообразие Гизекера (оно же пространство модулей инстантонов), реализация кокасательных расслоения к частичным многообразиям флагов как колчанных многообразий Накаджимы типа A.
    [N1]
    [N2]

  2. Теорема Джекобсона-Морозова, многообразия Слодови, примеры. (Опционально) Можно обсудить полезные следствия из теоремы Джекобсона-Морозова, например, классификацию классов сопряженности нильпотентных элементов в типах A,B,C,D. Также можно обсудить квантования многообразий Слодови – конечные W-алгебры.
    [CG]
    [L1]
    [L2]

  3. Аффинный Грассманиан – основные свойства и примеры (G(O)-орбиты, случай GL, описание G(O)-орбит и их замыканий в некоторых частных случаях). Трансверсальные срезы в Аффинном Грассманиане – определение, примеры для . (Опционально) Можно обсудить Пуассонову структуру на срезах.
    [Zhu]
    [BF]

  4. Колчанные многообразия типа A как неподвижные точки многообразия Гизекера (относительно действия тора), ADHM-соответствие (алгебраический вариант). Как следствие – интерпретация колчанных многообразий типа A как -эквивариантных векторных расслоений на проективной плоскости.
    [N1]
    [N3]

  5. Построение изоморфизма между колчанными многообразиями типа A и срезами в аффинном Грассманиане для GL. Явная формула для изоморфизма. Примеры.
    [He]
    [K]
    [MV]

  6. Изоморфизм между срезами Слодови (типа A) и колчанными многообразиями Накаджимы типа A.
    [M]

Литература:

(литература примерная и избыточная, подробности надо обсуждать с куратором темы по мере подготовки доклада)
[BF] A. Braverman and M. Finkelberg, Pursuing the double affine Grassmannian I: transversal slices via instantons on Ak-singularities.
[CG] N. Chriss and V. Ginzburg, Representation Theory and Complex Geometry
[He] A. Henderson, Involutions on the affine Grassmannian and moduli spaces of principal bundles
[L1] I. Losev, http://school-tlag2017.math.cnrs.fr/Docs/exos_Losev.pdf
[L2] I. Losev, Finite W-algebras.
[M] A. Maffei, Quiver varieties of type A.
[MV] I. Mirkovi'c and M. Vybornov, Quiver varieties and Beilinson-Drinfeld Grassmannians of type A.
[N1] H. Nakajima, Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces.
[N2] H. Nakajima, Nakajima : Quiver varieties and Kac-Moody algebras.
[N3] H. Nakajima,Handsaw quiver varieties and finite W-algebras.
[Zhu] X. Zhu, An introduction to affine Grassmannians and the geometric Satake equivalence.