Пункт 0 из плана.
Инвариантная мера на компактной группе Ли, полная приводимость комплексных представлений компактной группы Ли, ортогональность характеров.
Представления группы GL_n, представления группы U_n. Характеры GL_n как симметрические функции на торе. Симметрические и внешние степени стандартного представления и их характеры. Характеры тензорных произведений внешних степеней стандартного представления (подкрученного на степень определителя) образуют базис в пространстве характеров. Описание неприводимых представлений GL_n как старших компонент в произведении внешних степеней.
Вычисление радиальной части инвариантной меры на U_n. Формула для скалярного произведения характеров. Формула Вейля для характера неприводимого представления.
Теорема плотности.
Двойственность Шура-Вейля (= основная теорема теории инвариантов). Конструкция Шура представлений симметрической группы (с объяснением понятия индуцированного представления). Функторы Шура. Двойственность Хау для GL_n (симметрическая и кососимметрическая) и тождество с характерами.
Базис Гельфанда-Цетлина для S_n и GL_n. Формулы для характеров через таблицы Юнга. Формулы Пьери итд. (это опционально)
[1] Адамс Дж. Ф. Лекции по группам Ли
[2] P. Etingof, O. Golberg, S. Hensel, T. Liu, A. Schwendner, D. Vaintrob, E. Yudovina. Introduction to representation theory
[3] G. Wallach. Symmetry, Representations, and Invariants