mathphysschool

2019

Классическая интегрируемость на примере цепочки Тоды

Контакты:

Пререквизиты:

Желательно знать гамильтонову механику (пункт 0 плана)

Программа

  1. Гамильтонова механика. Канонические уравнения движения. Симплектические многообразия, скобка Пуассона. Теорема Лиувилля, определение классической интегрируемой системы по Лиувиллю.
    [1] часть 3
    [2] глава 1
    [3] chapters 2.1–2.3

  2. Открытая цепочка Тоды. Функция Гамильтона и канонические уравнения движения. Представление Лакса размера $N \times N$, построение сохраняющихся величин. Классическая r-матричная структура, доказательство интегрируемости системы по Лиувиллю. (Опционально) Открытые цепочки Тоды, построенные по произвольной простой алгебре Ли, их интегрируемость.
    [2] глава 4.1
    [3] chapters 4.6–4.7

  3. Симплектические многообразия. Отображение момента. Гамильтонова редукция. Пример редукции системы для гамильтоновой системы, инвариантной относительно действия SO(3).
    [2] главы 1.3–1.7
    [6] глава 1

  4. Открытая цепочка Тоды. Явное интегрирование уравнений движения методом проекции. Элементарный пример двухчастичной открытой цепочки Тоды. Редукция свободного матричного движения на пространстве симметричных положительно-определенных матриц к цепочке Тоды. (Опционально) Обобщение на случай простых алгебр Ли.
    [2] главы 4.3–4.5
    [3] chapters 4.8–4.9
    [4] статьи почти целиком

  5. Замкнутая (периодическая) цепочка Тоды. Представление Лакса со спектральным параметром размера , классическая r-матричная структура. Вспомогательная линейная задача для представления Лакса.
    [3] chapters 6.1–6.3
    [5] chapter 2

  6. Представление Лакса цепочки Тоды с периодически граничными условиями размером $2 \times 2$ в виде трансфер-матрицы. Скобки Пуассона для трансфер-матриц, классическая r-матричная структура. Разделение переменных в замкнутой цепочке Тоды. (Опционально) Спектральная дуальность для двух представлений Лакса цепочки Тоды.
    [3] chapters 6.6–6.7
    [5] chapter 2

Литература:

[1] В.И. Арнольд. Математические методы классической механики.
[2] А.М.Переломов. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли.
[3] O. Babelon, D. Bernard, M. Talon. Introduction to Classical Integrable Systems.
[4] М.А. Ольшанецкий, А.М. Переломов. Цепочка Тоды как редуцированная система.
M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov. Explicit Solutions of Classical Generalized Toda Models.
[5] E.K. Sklyanin. Bäcklund transformations and Baxter’s Q-operator
[6] А.Г. Рейман, М.А. Семенов-Тян-Шанский. Интегрируемые системы: теоретико-групповой подход.