mathphysschool

2019

Уравнение Янга-Бакстера, Q-операторы и разделение переменных

Контакты:

• С. Э. Деркачев derkach@pdmi.ras.ru

Пререквизиты:

Хоть раз в жизни видеть 1) Преобразование Фурье – одномерное и двумерное(D-мерное не помешает) Самые ходовые формулы – преобразование Фурье от степенной функции и представление дельта-функции. 2) Преобразование Меллина 3) Интегральное представление для гипергеометрической функции, оба типа интегралов – интегральное представление Эйлера и интеграл Барнса 4) Квантовая механика – переход из одного представления в другое. Самый простой пример – преобразование Фурье, ну а по сути все занятия посвящены второму примеру – переходу в представление “разделенных переменных” в спиновой цепочке 5) Хорошо бы хоть раз в жизни видеть уравнение Янга-Бакстера, спиновые цепочки, RLL-соотношения и все такое На первом занятии или двух планируется рассказать все это, но лучше, если все это где-то уже слышали, конечно.

Программа

1. R-матрица и уравнение Янга-Бакстера. Алгебраический анзатц Бете и уравнение Бакстера. Локальный гамильтониан. Q-оператор. Общая R-матрица. Уравнения Бакстера.
   [D] - введение
   [S92]
   [F]
   [S00]

2. Представления комплексной группы SL(2,C). Неприводимые представления группы SL(2,C). Сплетающие операторы.Генераторы алгебр Ли.
   [D. 2.1]
   [GNV]
   [Kn86]

3. SL(2,C)-инвариантная R-матрица. Уравнение Янга-Бакстера. Группа перестановок и соотношения для строительных блоков R-матрицы. Операторы R1 и R2.
   [D] - глава 2
   [DKM01]

4. Q-операторы и трансфер-матрицы в случае группы симметрии SL(2,C)
   [D] - глава 3
   [DKM01]

5. Разделение переменных. Собственные функции оператора B(u). Действие операторов A(u) и D(u) на собственные функции.
   [D] - глава 3
   [DKM01]
   [DL01]

Литература:

[S92] E.K.Sklyanin, Quantum Inverse Scattering Method.Selected Topics, in “Quantum Group and Quantum Integrable Systems” hep-th/9211111.
[F96] L.D. Faddeev, How Algebraic Bethe Ansatz works for integrable model, In: Quantum Symmetries/Symetries Qantiques, hep-th/9605187.
[S00] E.K. Sklyanin, Backlund transformations and Baxter’s Q-operator, nlin.SI/0009009.
[GNV] И. М. Гельфанд, М. И. Наймарк, Н.Я.Виленкин Обобщённые функции. Вып 5: Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений
[K86]Knapp. A.W. Representation theory of semisimple groups: an overview based on examples.
[DKM01] S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Noncompact Heisenberg spin magnets from high-energy QCD. I: Baxter Q-operator and separation of variables, [arXiv:hep-th/0107193].
[DL 01] H.J. De Vega, L.N. Lipatov Interaction of reggeized gluons in the Baxter-Sklyanin representation hep-ph/0107225