mathphysschool

2020

Базисы Гельфанда–Цетлина

Контакты

Аннотация

Базисы Гельфанда-Цетлина являются классическим объектом теории представлений. В рамках данной темы мы обсудим их определение и основные свойства для типа A, c уклоном в янгинаны (централизаторная конструкция). Последние пункты плана являются дополнительными, что из этого будет обсуждаться, зависит от пожеланий участников.

Пререквизиты

Универсальные обертывающие алгебры для алгебр Ли, теорема Пуанкаре–Биркгоф–Витта. Параметризация представлений простых алгебр Ли (хотя бы gl(n)) при помощи старших весов.

Программа

  1. Центр универсальной обертывающей алгебры gl(n) (из основной теоремы теории инвариантов). Гомоморфизм Хариш–Чандры.
    [M1] параграф 7.1

  2. Характеры модулей Верма, неприводимых представлений GL(n) (полиномы Шура). Правило ветвления с GL(n) на GL(n-1) (из характров). Определение базисов Гельфанда-Цетлина, таблицы Гельфанда-Цетлина. Формула МакМагона.
    [GW] параграф 8.3.1 – ветвление конечномерных представлений из характеров.
    [M2] Глава 2, начало.

  3. Напоминание про теорему о двойном централизаторе. Централизаторная подалгебра для и янгиан.
    [M1] параграфы 8.1-8.4

  4. Представления янгиана: полином Дринфельда. Классификация неприводимых конечномерных представлений янгиана Y(gl(2)). Вывод ветвления из представлений Y(gl(2)).
    [M1] параграфы 3.1-3.3

  5. Явные формулы для представления gl(n) в базисе Гельфанда–Цетлина.
    [M1] Глава 5.

  6. (*) Конечномерные представления янгиана.
    [M1] параграф 8.5

Литература

(Литература довольно условная, предполагается, что куратор пришлет вам необходимую информацию).
[M1] А. Молев Янгианы и классические алгебры Ли
[M2] A. Molev Gelfand–Tsetlin bases for classical Lie algebras https://arxiv.org/abs/math/0211289
[GW] Goodman Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants
[FFFR] Feigin, Finkelberg, Frenkel, Rybnikov, Gelfand-Tsetlin algebras and cohomology rings of Laumon spaces