mathphysschool

2020

Симметрические функции и бозон-фермионное соответствие

Контакты:

Аннотация

Симметрические многочлены являются классическим объектом, в последние 50 лет они нашли большое число применений в теории представлений и математической физике. Очень многие свойства симметрических многочленов удобно понимать при помощи некоторых операторов, действующих на них. Замечательно, что пространство симметрических многочленов имеет два описания: одно – при помощи коммутирующих операторов (бозонов), другое – при помощи антикоммутирующих операторов (фермионов). Наличие таких двух описаний очень полезно, в физике оно носит название бозон-фермионного соответствия и возникает в двумерных теориях поля.

Пререквизиты:

Симметрические многочлены (знать и понимать доказательство основной теоремы). Желательно иметь некоторый опыт теории представлений (скажем, алгебры sl(2)). Желательно иметь некоторое знакомство с производящими функциями.

Программа

  1. Разбиения, диаграммы Юнга. Симметрические многочлены, образующие. Симметрические функции. Образующие , формулы, выражающие одни через другие. Определение многочленов Шура, через альтернанты, формула Якоби-Труди.
    [M] параграфы 1.1-1.3.
    [S] параграфы 7.1-7.7

  2. Косые многочлены Шура. Формула через полустандартные таблицы. Действие . Формулы Пиери.
    [M] параграфы 1.4, 1.5.
    [S] параграфы 7.15-7.17

  3. Фермионное пространство Фока, вакуумы. Диаграммы Мая и диаграммы Юнга, координаты Фробениуса. Действие алгебры , действие алгебры Гейзенберга. Разложимые тензоры и полиномы Шура.
    [DJM] главы 4-6
    [AZ]
    [KR] лекции 4-5

  4. Вертексные операторы, формулы для фермионных токов через бозоны. Матричные элементы “половин” вертексных операторов в базисе разложимых тензоров.
    [DJM] главы 5-6
    [AZ]
    [KR] лекция 6

  5. Производящая функция двумерных диаграмм Юнга. Вычисление характера, тождество тройного произведения Якоби. Трехмерные диаграммы Юнга, плоские разбиения. Вычисление производящей функции трехмерных диаграмм Юнга при помощи вертексных операторов.
    [ORV]

  6. (*) Групповые элемент, формула Вика. Билинейные уравнения на тау-функции.
    [AZ]

Литература

[AZ] Alexandrov, Zabrodin. Free fermions and tau-functions https://arxiv.org/abs/1212.6049
[DJM] Дате, Джимбо, Мива. Солитоны. дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры
[KR] Кац, Райна. Бомбейские лекции
[M] Макдональд. Симметрические функции и полиномы Холла
[OVR] Okounkov, Vafa, Reshetikhin. Quantum Calabi-Yau and Classical Crystals https://arxiv.org/abs/hep-th/0309208
[S] Стенли, Перечислительная комбинаторика, 2 том