Гамильтонова редукция является одной из основных конструкций симплектической геометрии. Она имеет огромное число применений. Во-первых, она позволяет строить новые симплектические многообразия. Алгебраически это дает конструкции интересных пуассоновых алгебр, или, после квантования, некоммутативных алгебр. Во-вторых, часто на многообразиях, получающихся таким образом, возникают замечательные интегрируемые системы.
В рамках данной темы мы сначала обсудим определение редукции, а потом разберем несколько примеров: интегрируемые системы Тоды, Калоджера и алгебру Вирасоро.
гамильтонова механика (гамильтонианы, скобки Пуассона), гладкие многообразия (желательно знать, что такое касательное расслоение, дифференциальные формы на многообразиях), группы и алгебры Ли (не бояться этих слов, знать примеры матричных групп, компактных групп, нильпотентных групп).
Симплектические многообразия. Примеры симплектических многообразий: кокасательное расслоение к многообразию и орбита коприсоединенного действия группы Ли. Гамильтоновы векторные поля, примеры их вычисления.
[L] лекции 1, 2
Гамильтоновы действия групп Ли на симплектических многообразиях. Отображение моментов. Примеры: коприсоединенные орбиты, кокасательное расслоение, действие группы на векторном пространстве. Гамильтонова редукция.
[L] лекции 3, 4
(*) Критерии гамильтоновости симплектического действия группы.
[L] лекция 4
Кокасательное пространство к группе, два отображения моментов, связь между ними. Пример гамильтоновой редукции: открытая цепочка Тоды (может быть, еще и релятивистская открытая цепочка Тоды).
[Ar] параграф 2.1.3
[P] глава 4
[F]
Пример гамильтоновой редукции: рациональная и тригонометрическая системы Калоджеро, рациональная система Руйсенаарса. (*) Самодуальность рациональной системы Калоджеро. Дуальность между тригонометрической системой Калоджеро и рациональной системой Руйсенаарса.
[Ar] параграф 2.2.1
[E1] лекции 1, 2
[F]
[OP] section 9
Квантовая гамильтонова редукция. Волновые функции Тоды как матричные элементы между векторами Уиттекера. Волновые функции Калоджера как матричные элементы между сферическими функциями.
[E1] лекции 4,5
[E2]
Редукция Дринфельда-Соколова как пример бесконечномерной гамильтоновой редукции. Скобка Вирасоро, преобразование Миуры. (*) Обобщение на W-алгебры.
[B]
[D] section 9.4.
[A] Арнольд. Математические методы классической механики.
[AG] Арнольд, Гивенталь. Симплектическая геометрия.
[Ar] Arutyunov Elements of Classical and Quantum Integrable Systems
[B] Белавин. Уравнения типа КдФ и W-алгебры.
[BBT] Babelon, Bernard, Talon. Introduction to Classical Integrable Systems.
[D] Dickey. Soliton Equations and Hamiltonian Systems.
[E1] Etingof. Lectures on Calogero–Moser systems. arxiv:math/0606233
[E2] Etingof. Whittaker functions on quantum groups and q-deformed Toda operators arxiv:math/9901053
[F] Fehér. Статьи по гамильтоновой редукции.
[L] И. Лосев. Лекции в НМУ по отображению моментов [https://www.mccme.ru/ium/f05/momentum.html]
[OP] Olshanetsky, Perelomov. Classical Integrable Finite-Dimensional Systems Related to Lie Algebras
[P] Переломов. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли.