mathphysschool

2020

Теория групп и атом водорода

Контакты

Аннотация

Классическая задача про движение в кулоновом поле является суперинтегрируемой (количество интегралов движения у неё равно количеству степеней свободы минус один). Можно показать, что в дополнение к обычной, “геометрической” симметрии она имеет также “скрытую” симметрию . По-настоящему эта симметрия проявлятся в квантовомеханической задаче (атом водорода), в которой как спектр, так и волновые функции можно найти с помощью теоретико-групповых методов.

Пререквизиты

Группа и её алгебра Ли (базовые сведения), классическая механика (гамильтониан, скобки Пуассона, уравнения движения), основные понятия квантовой механики (уравнение Шрёдингера, связанные состояния, дискретный и непрерывный спектр), Ближе к концу понадобятся преобразование Фурье и комплексный анализ (понятие об аналитическом продолжении, вычисление интегралов по вычетам)

Программа

  1. Классическая задача Кеплера и симметрия . Гамильтониан, уравнения движения. Построение вектора Рунге-Ленца, его свойства. Энергия орбиты. Скобки Пуассона, алгебра Ли группы .
    [1]
    (*) Если будет время: обсуждение работы [2].

  2. Квантовый случай, дискретный спектр (). Коммутационные соотношения, нахождение спектра. Переход в пространство импульсов, сферические гармоники на 4D сфере. Действие группы .
    [3, 5]

  3. Алгебраический подход: вычисление волновых функций с помощью неприводимых представлений , полиномы Лежандра, коэффициенты Клебша-Гордана. Группа .
    [3, 5]

  4. Квантовый случай, непрерывный спектр (). Координаты Фока, гиперболоиды. Основная серия унитарных представлений.
    [4, 6]

  5. Аналитическое продолжение из области (дискретный спектр) в область (непрерывный спектр).
    [4, 6]

Литература

[1] Переломов, Интегрируемые системы механики и алгебры Ли.
[2] Moser J., Regularization of kepler’s problem and the averaging method on a manifold, Comm. Pure Appl. Math., v23, p609, 1970.
[3] Bander, Itzykson, Group Theory and the Hydrogen Atom I, Rev. Mod. Phys., vol. 38, no. 2, 1966. https://escholarship.org/uc/item/42q1m0t7
[4] Bander, Itzykson, Group Theory and the Hydrogen Atom II, Rev. Mod. Phys., vol. 38, no. 2, 1966. https://escholarship.org/uc/item/4ns2m34s
[5] В.А. Фок, Атом водорода и не-евклидова геометрия, Известия АН СССР, 1935, вып. 2, стр. 169-188. http://mi.mathnet.ru/izv4661
[6] A.M. Perelomov and V.S. Popov, The Lorentz Group as a Dynamic Symmetry Group of the Hydrogen Atom, JETP, vol. 23, n. 1, july 1966. http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/r/index/r/50/1/p179?a=list