mathphysschool

2020

Локализационное вычисление инстантонных статистических сумм

Контакты:

Паша Гавриленко pasha145@gmail.com

Аннотация:

Теория Зайберга-Виттена, или $\mathcal N=2$ четырёхмерная суперсимметричная калибровочная теория, является одним из примеров нетривиальных теорий, в которых удаётся найти точное описание низкоэнергетической физики, а именно, вычислить препотенциал. Впервые это было сделано в статье Зайберга-Виттена достаточно непрямым образом. Мы собираемся изучать более поздний подход Некрасова к теории Зайберга-Виттена, заключающийся в явном вычислении инстантонной статсуммы в нетривиальном фоновом пространстве с помощью локализации. Для этого нужно разобраться с тем, как применяется локализация в этой теории, как устроено пространство модулей инстантонов, на которое высаживается функциональный интеграл, и как происходит интегрирование по этому пространству модулей. В качестве конечной цели предполагается вывод препотенциала Зайберга-Виттена из локализационного вычисления.

Пререквизиты:

$\mathcal N=1$ суперсимметрия, БПСТ инстантон, видеть хоть раз в жизни $\mathcal N=2$ суперсимметрию и локализационное вычисление.

Программа

Лагранжиан $\mathcal N=2$ супер Янг-Миллса, преобразования суперсимметрии, R-симметрия (напоминание без вывода). Топологический твист и перезапись лагранжиана после твиста. Некрасовская $\epsilon$ -деформация. Запись действия $\mathcal N=2$ супер Янг-Миллса в виде Q-точного и топологического слагаемых.
[Sha]
Общий принцип локализационного вычисления. Конечномерный пример: формула Дюстермата-Хекмана. Уравнения самодуальности как уравнения на неподвижные точки.
[Sha]
[Bel1,2]
АДХМ
1. Описание пространства модулей самодуальных решений: подсчёт размерности из теоремы об индексе. Переписывание уравнений самодуальности в комплексных координатах (начало АДХМ конструкции). Проекция $\mathbb{C}^3\to S^4$ и переписывание уравнений самодуальности в координатах на $\mathbb{C}^3$ .
  [Bel1,2]
  [At]
2. Построение голоморфного расслоения на $\mathbb{C}^3$ как подрасслоения в тривиальном. Вычисление связности в нём. Условия на то, что эта связность проектируется на $S^4$ . Итогом должно стать получение АДХМ уравнения $[B_1,B_2]+ IJ=0$ .
  [Bel1,2]
  [At]
Нулевые моды фермионов как формы на АДХМ пространстве. Разбирательство с тем, как оператор Q действует на АДХМ данных, явное получение соответствующего векторного поля.
[Sha]
[Bel1,2]
[N]
Описание неподвижных точек векторного поля наборами диаграмм Юнга, вклады от этих точек.
[Sha]
[Bel1,2]

Литература:

[Bel1] Листки Белавина https://ium.mccme.ru/f14/f14-belavin.html
[Bel2] Записки Белавина (ссылка)
[Sha] Диссертация Шадчина https://arxiv.org/abs/hep-th/0502180
[N] Некрасов https://arxiv.org/abs/hep-th/0206161
[NO] Некрасов-Окуньков https://arxiv.org/abs/hep-th/0306238
[NS] Некрасов-Шадчин https://arxiv.org/abs/hep-th/0404225
[Nqq] Некрасов о qq-характерах https://arxiv.org/abs/1512.05388
[NP] Некрасов-Пестун https://arxiv.org/abs/1211.2240
[At] Атья, Геометрия и физика узлов (дополнение)

Также для заполнения пробелов в пререквизитах можно посмотреть лекции Алексея Юнга по $\mathcal N=1$ суперсимметричным калибровочным теориям (ссылка) и доклады на семинаре о Зайберге-Виттене (ссылка).