Квантовый метод разделения переменных — один из самых плодотворных методов решения квантовых интегрируемых моделей. Он применим во многих случаях наравне с другими методами, а иногда работает только он. Он обладает целым рядом преимуществ, в частности, в рамках этого подхода можно явно получить сохраняющиеся величины, строить полный базис пространства решений. В рамках курса мы изучим, как его использовать для решения квантовой цепочки Тоды и какие структуры возникают при таком решении.
квантовая механика (осциллятор, спина, различные представления волновых функций); понимать о представлениях алгебры sl(2); очень поможет понятие классической интегрируемости (интегрируемость по Лиувиллю, пара Лакса); много раз видеть преобразование Фурье и хоть раз видеть преобразования Меллина и Барнса; хорошо бы еще понимать, что такое спиновые цепочки и как они связаны с решениями уравнения Янга-Бакстера.
Основные формулы для квантовой цепочки Тоды – гамильтонианы, операторы Лакса и монодромии. Уравнение Янга-Бакстера и интегрируемость.
[1]
[2]
Разделение переменных для Тоды. (Сместив акценты по сравнению с [2]. просто как в обычной квантовой механике – переход в другое представление и объяснение, почему там хорошо и чем все это удобно).
[2]
Явное построение оператора перехода в новую картину. Итерационная процедура Подход Харчева-Лебедева дающая интегральное ядро оператора перехода в виде интеграла Меллина-Барнса. (Разбирать сначала случаи 2-3 узлов, а только потом общие формулы)
[3]
Явное построение оператора перехода в новую картину. Подход Силантьева: аналог итерационной процедуры для XXX-спиновой цепочки и интегралы Гаусса-Гивенталя. (Разбирать сначала случаи 2-3 узлов, а только потом общие формулы)
[4]
Доказательство эквивалентности представлений Меллина-Барнса и Гаусса-Гивенталя.
[7], appendix B.
Конструкция тех же самых интегралов при помощи теории представлений SL(N,R): Векторы Уиттекера и т.д.
[5]
[6]
[8]
[9]
[1] Годен Волновая функция Бете
[2] E.K. Sklyanin The Quantum Toda Chain
[3] S. Kharchev and D. Lebedev, Integral representation for the eigenfunctions of quantum periodic Toda chain https://arxiv.org/abs/hep-th/0007040,
S. Kharchev and D. Lebedev, Eigenfunctions of GL(N, R) Toda chain: The Mellin-Barnes representation https://arxiv.org/abs/hep-th/0004065,
[4] А. В. Силантьев, Функция перехода для цепочки Тоды http://mi.mathnet.ru/tmf5985
[5] Michael Semenov-Tian-Shansky Quantum Toda Lattice: a Challenge for Representation Theory https://arxiv.org/abs/1912.13268
[6] S. Kharchev, S. Khoroshkin Mellin-Barnes presentations for Whittaker wave functions https://arxiv.org/abs/1907.00637
[7] K. K. Kozlowski Unitarity of the SoV transform for the Toda chain https://arxiv.org/abs/1306.4967
[8] V. Pasquier and M. Gaudin M, The periodic Toda chain and a matrix generalization of the Bessel function recursion relations,
[9] E. K. Sklyanin Baecklund transformations and Baxter’s Q-operator https://arxiv.org/abs/nlin/0009009