mathphysschool

2021

Кристаллы Кашивары и комбинаторика разбиений и таблиц

Контакты:

Аннотация

Кристаллы Кашивары являются комбинаторной моделью конечномерных представлений полупростых алгебр Ли. Более точно, кристаллом конечномерного представления данной алгебры Ли g является множество, индексирующее некоторый специальный базис соответствующего представления квантовой группы U_q(g), на котором образующие Шевалле e_i задают структуру ориентированного графа, ребра которого размечены простыми корнями алгебры Ли. Кристаллы являются очень интересным и важным комбинаторным объектом, естественным образом содержащим в себе, в частности, такие нетривиальные комбинаторные конструкции с таблицами Юнга как соответствие RSK и инволюции Шютценберже. Мы попытаемся разобраться в том, как это работает.

Кристаллы, связанные с данной алгеброй Ли, образуют моноидальную категорию, т.е. на них определена операция тензорного произведения. Тензорное произведение кристаллов несимметрично – однако тензорные произведения двух кристаллов в разных порядках изоморфны при помощи некоторого функториального изоморфизма, называемого коммутором. Эта структура похожа на braiding в категории представлений квантовой группы (и, фактически, происходит из нее), однако соотношению группы кос коммуторы не удовлетворяют. В частности, на тензорной степени данного кристалла всевозможные коммуторы порождают не действие группы кос B_n, а действие другой группы J_n, называемой кактусной группой – фундаментальной группы компактификации Делиня-Мамфорда пространства модулей вещественных стабильных рациональных кривых с отмеченными точками. Мы попытаемся разобраться, как устроено действие кактусной группы на полустандартных таблицах и описать его в терминах кусочно-линейных преобразований целочисленных многогранников.

Темы относящиеся к теории представлений квантовой группы ниже выделены звездочкой, возможно они будут опущены, чтобы сделать курс чисто комбинаторным.

Программа

  1. (*) Диаграммы Юнга. Стандартные таблица, полустандартные таблицы, биекция с таблицами Гельфанда Цетлина. Фунции Шура как суммы по полустандартным таблицам, их симметричность из инволюций Бендера-Кнута. Формулы крюков. (*) Связь с теорией представлений.

  2. Аксиоматическое определение кристаллов. Комбинаторное определение тензорного произведения. Нормальные кристаллы. Теорема Джозефа (формулировка и доказательство (*) в типе А).

  3. Реализация кристаллов типа А на полустандартных таблицах. Алгоритм Робинсона-Шенстеда как комбинаторный аналог двойственности Шура-Вейля. Алгоритм Робинсона-Шенстеда-Кнута как комбинаторный аналог двойственности Хау.

  4. Инволюция Шютценберже. Кристаллический коммутор. Кограничные моноидальные категории. (*) Определение коммутора через унитаризацию Дринфельда.

  5. Кактусная группа как аналог группы кос в кограничных категориях. Реализация кактусной группы как фундаментальной группы компактификации Делиня-Мамфорда.

  6. Действие кактусной группы на (полу)стандартных таблицах при помощи инволюций Бендера-Кнута.

Литература

[BS] Daniel Bump and Anne Schilling. Crystal Bases: Representations And Combinatorics
[S]. Alistair Savage. Braided and Coboundary Monoidal Categories https://alistairsavage.ca/pubs/savage-2009-conm9448-braided-coboundary-categories.pdf
[HK] Andre Henriques, Joel Kamnitzer. Crystals and coboundary categories, https://arxiv.org/abs/math/0406478
[B] Crystals and RSK (notes by Daniel Bump) http://sporadic.stanford.edu/crystals/ind1_1.html