В данном курсе объектом нашего изучения будут монодромии плоских связностей с особенностями на римановых поверхностях (в простейшем случае – на сфере Римана). Плоские связности с фуксовыми особенностями – простейшее обобщение плоских связностей – описываются инвариантным объектом, называемым монодромией, а именно - представлением фундаментальной группы римановой поверхности с проколами, задаваемым нашей связностью (это описания называется проблемой Римана-Гильберта). Поэтому естественно изучать такие деформации нашей связности, которые сохраняют монодромию. В простейшемм нетривиальном случае связности ранга 2 на сфере без 4-х точек такая задача сводится к уравнению Пенлеве VI – важнейшему нелинейному ОДУ.
В этом курсе мы изучим с разных сторон свойства изомонодромных деформаций: получим уравнения Шлезингера, которые их описывают, изучим гамильтонов характер этих уравнений, научимся строить частные решения этих уравнений. В конце мы изучим расширение понятия монодромии на иррегулярные особенности – т. н. явление Стокса, прикладная суть которого заключается в том, что асимптотика предела от общего решения ОДУ не совпадает с пределом асимптотики этого решения.
Теория линейных ОДУ, гамильтонова механика, ТФКП. Желательно, но не обязательно, уметь писать на Wolfram Mathematica.
Локальные решения, монодромия, вывод деформационных уравнений - уравнения Шлезингера+ автономный предел. Рассмотрение случаев sl_2 (2, 3, 4 точки) в Математике.
[5] разделы 1-2: некоторые общие опредления и утверждения, раздел 4: p. 0 (в общих чертах, то что нужно для регулярных фуксовых особенностей), 1, 2.1-2.3 (до треугольного случая невключительно).
[2] лекции 13-18
[4] раздел 2.1
Гамильтонова формулировка уравнений Шлезингера как системы на ко-присоединнённых орбитах, случай 4 точек и sl_2 — фазовое пространство уравнения Пенлеве VI. (*) Изомонодромные тау-функции как производящие функции гамильтонианов уравнений Шлезингера, их свойства.
[1] разделы 3, 4
[4] разделы 2.1, 2.2
[5] стр. 148-151
[3]
[1] М. В. Бабич, О канонической параметризации фазо- вых пространств уравнений изомонодромных деформа- ций фуксовых систем размерности 2 x 2. Вывод уравне- ния Пенлеве VI,
УМН, 2009, том 64, выпуск 1(385), 51– 134
[2] А. А. Болибрух, Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений
[3] B. Dubrovin, M. Mazzocco, Monodromy of certain Painleve’ VI transcendents and reflection groups, https://arxiv.org/abs/math/9806056
[4] O. Gamayun, N. Iorgov, O. Lisovyy, Conformal field theory of Painlev´e VI, JHEP 1210, (2012), 38; https://arxiv.org/abs/1207.0787
[5] A. Fokas, A. Its, A. Kapaev, V. Novokshenov, Painlev´e transcendents: the Riemann-Hilbert approach, Mathematical Surveys and Monographs 128, AMS, Providence, RI, (2006)