mathphysschool

2021

Вырождения Грёбнера многообразий флагов

Контакты:

Аннотация

Одной из красивых тем в современной теории Ли является построение плоских вырождений многообразий флагов и связанных с ними многообразий. У этой дисциплины пока нет унифицирующей теории, она, скорее, представляет из себя ассорти конструкций родом из самых разных задач геометрии, теории представлений и комбинаторики. Эти конструкции, однако же, обнаруживают множество общих свойств, в частности, пожалуй, все известные вырождения являются грёбнеровскими, т.е. задаются начальным идеалом или присоединенной градуированной алегброй. Цель серии докладов — познакомить слушателей с некоторыми из наиболее простых и известных результатов в этой области.

Пререквизиты:

Мы надеемся, что в докладах будут даны напоминания по всем основным теоретическим вопросам. Тем не менее, полезно иметь базовое знакомство с классическими многообразиями флагов, торическими многообразиями и теорией представлений GLn.

Доклады

  1. Вводный. Начальные идеалы и вырождения Грёбнера, многообразия флагов, проективные торические многообразия. Стандартные сведения из разных книг, например, [S, глава 1], [HH, глава 3], [F, глава 9], [CLS, глава 2].

  2. Торическое вырождение Гончиулеа-Лакшмибаи/Когана-Миллера и его связь с многогранником Гельфанда-Цетлина. Cкорее всего, по [MS, глава 14], но также см. [GL] и [KM, разделы 1-3].

  3. Полуторические вырождения многообразий Шуберта по [KM]: многообразия Шуберта, пайпдримы, грани Когана, формулировка основной теоремы.

  4. Тут есть два варианта.
    1. Доказательство теоремы Когана-Миллера. Сложно: доказательство в статье — одна большая дырка, нужно изучать [KnM] (или [MS,главы 15-16]) и додумывать.
    2. Последний раздел в [KM]: связь торического вырождения с базисом Гельфанда-Цетлина (нужно ввести сам базис, теорему Бореля-Вейля, линейные расслоения на торических многообразиях. желательно, чтобы у докладчика было какое-то представление об этих вопросах).
  5. Абелево вырождение многообразия флагов (оно же ПБВ-вырождение) Фейгина — [Fe].

Литература

[CLS] D. Cox, J. Little, H. Schenck, Toric Varieties
[F] W. Fulton, Young Tableaux with Applications to Representation Theory and Geometry
[Fe] E. Feigin, degeneration of flag varieties, https://arxiv.org/abs/1007.0646
[HH] J. Herzog, T. Hibi, Monomial Ideals
[GL] N. Gonciulea, V. Lakshmibai, Degenerations of flag and Schubert varieties to toric varieties
[KnM] A. Knutson, E. Miller, Gröbner geometry of Schubert polynomials, https://arxiv.org/abs/math/0110058
[KM] M. Kogan, E. Miller, Toric degeneration of Schubert varieties and Gel’fand-Cetlin polytopes, https://arxiv.org/abs/math/0303208
[MS] E. Miller, B. Sturmfels, Combinatorial Commutative Algbera
[S] B. Sturmfels, Gröbner Bases and Convex Polytopes