Матричная модель — «игрушечная» теория поля, в которой фейнмановские правила получаются довольно просто, а все диаграммы (по крайней мере в планарном пределе) имеют довольно понятный комбинаторный смысл. Фактически мы имеем дело с дискретной версией функционального интеграла. Оказывается, для него (и для соответствующих корреляционных функций) есть явные ответы — через детерминанты, в которых стоят ортогональные многочлены, построенные по определённой мере. Эти выражения могут быть полезны как сами по себе, так и для вычисления разных асимптотик — например, в связи с вычислением статсуммы шестивершинной модели.
Мотивация для изучения матричных моделей: фейнмановские диаграммы матричной модели как перечисление карт; планарный предел.
[Bessis-Itzykson-Zuber’80]
Связь матричных моделей и ортогональных полиномов.
[Mehta’04]
[Bleher’08]
Детерминатные формулы для ортогональных полиномов.
[Eynard’18]
Матричные модели и 6-вершинная модель. Ферроэлектрический и неупорядоченный случай.
[Zinn-Justin’00]
Антиферроэлектрический случай.
[Zinn-Justin’00].
[Bessis-Itzykson-Zuber’80] D Bessis, C Itzykson, J.B Zuber, Quantum field theory techniques in graphical enumeration, Advances in Applied Mathematics, Volume 1, Issue 2, 1980.
[Mehta’04] M L Mehta, Random matrices, 3rd Edition, 2004
[Bleher’08] Pavel M. Bleher, Lectures on random matrix models. The Riemann-Hilbert approach. https://arxiv.org/abs/0801.1858
[Zinn-Justin’00] P. Zinn-Justin, Six-vertex model with domain wall boundary conditions and one-matrix model, Phys. Rev. E 62, 3411
[Eynard’18] Bertrand Eynard, Taro Kimura, Sylvain Ribault lectures on Random matrices at IPhT, Saclay https://arxiv.org/abs/1510.04430