Уравнение Кортевега-де-Фриза — самое известное нелинейное интегрируемое уравнение в частных производных. Оно имеет большое число законов сохранения и являются частями интегрируемых иерархий. Оказывается, что целый класс периодических решений этого уравнения, конечнозонные решения, могут быть получен с использованием алгебро-геометрического метода. Основной объект для построения таких решений — функции Бейкера-Ахиезера, мероморфные функции с определенной существенной особенностью, заданные на комплексной алгебраической кривой, то есть на римановой поверхности.
Мы изучим основные необходимые понятия из теории римановых поверхностей, которые применяются для построения конечнозонных решений: циклы и голоморфные дифференциалы на кривой, тэта-функции, якобиан и отображение Абеля.
Основы ТФКП, дифференциальные формы.
Уравнение Кортевега-де-Фриза (КдФ). Представление Лакса и вспомогательная линейная задача для уравнения КдФ. Понятие о конечнозонных решениях. Солитон — решение уравнения КдФ в виде бегущей волны. Понятие об иерархии КдФ и интегралах движения. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП), представление Лакса и вспомогательная линейная задача для него. Понятие об иерархии КП.
[ЗМНП] параграф 1
[Д1]
[Z] 2-3
[BBT] 10.1-10.2, 11.1-11.2, 11.4
Определение римановой поверхности. Примеры римановых поверхностей: сфера Римана, риманова поверхность корня и логарифма, (гипер)эллиптическая кривая. Компактная риманова поверхность = сфера с g ручками, род римановой поверхности. Формула Римана-Гурвица, вычисление рода гиперэллиптической кривой. Склейка двумерных поверхностей из многоугольников. Циклы компактной римановой поверхности, каноническая форма пересечения.
[Д3] лекции 1-2
[КЛП] глава 1
[ЗМНП] параграф 6
Голоморфные дифференциалы на компактной римановой поверхности. Циклы компактной римановой поверхности, каноническая форма пересечения. Периоды голоморфных дифференциалов, билинейное тождество Римана. Тэта-функции на римановой поверхности, пример для тора. Многообразие Якоби римановой поверхности, отображение Абеля.
[Д2] главы 1-2
[Д3] лекции 3-4
[КЛП] глава 12
[ЗМНП] параграфы 6-7
[BBT] 5.5
Мероморфные функции на компактной римановой поверхности. Дивизоры, канонический дивизор. Пространство мероморфных функций с данным дивизором, примеры: дивизор с одной точкой (мероморфные функции с единственным полюсом n-го порядка), неспециальные дивизоры, специальные дивизоры. Понятие о теореме Римана-Роха. Одноточечная функция Бейкера-Ахиезера, ее единственность с точностью до умножения на константу. Существование функции Бейкера-Ахиезера.
[Д2] главы 2-3
[ЗМНП] параграф 8
[BBT] 5.6
Вывод вспомогательной линейной задачи при помощи функции Бейкера-Ахиезера. Решение уравнения КдФ (формула Матвеева-Итса). Вырождение римановых поверхностей и многосолитонные решения.
[ЗМНП] параграфы 9-10
[BBT] 11.5-11.6
[ЗМНП] Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский. Теория солитонов. Метод обратной задачи. Глава 2
[Д1] Б.А. Дубровин. Периодическая задача для уравнения Кортевега–де Фриза в классе конечнозонных потенциалов.
[BBT] Babelon, Bernard, Talon. Introduction to Classical Integrable Systems
[Д2] Дубровин. Тэта-функции и нелинейные уравнения
[Д3] Дубровин. Римановы поверхности и нелинейные уравнения
[КЛП] Казарян, Ландо, Праслов. “Алгебраические кривые. По направлению к пространствам модулей.
[Z] Zabrodin. Lectures on nonlinear integrable equations and their solutions http://arxiv.org/abs/1812.11830v1
Дополнительно:
Лекции Кричевера: https://www.youtube.com/playlist?list=PLLGkFbxve672AOMaYwSTrqFRBc00ZnQmb
Лекции Гриневича: http://www.mathnet.ru/conf1711