Суперсимметричные модели теории поля – это хорошие игрушечные примеры, в которых удаётся получить больше ответов, чем обычно. Знакомство с суперсимметрией можно начинать с 0+1 случая, суперсимметричной квантовой механики. В ней уже видны многие основные явления, но при этом многое всё ещё можно посчитать руками и увидеть, как это работает. Кроме того, оказывается, что некоторые задачи обычной квантовой механики выглядят естественнее в рамках “суперсимметричного” подхода.
Квантование осциллятора. Частица со спином ½. Гауссов функциональный интеграл.
Симметрии системы из n бозонных и m фермионных осцилляторов. Чётные и нечётные генерторы, коммутаторы/антикоммутаторы, тождества Якоби и Лейбница с коммутаторами и антикоммутаторами. Возникновение и определение супералгебры gl(m|n), её корневые образующие.
Куратор выдаст набор несложных задач по этой теме, которые нужно будет разобрать и рассказать.
Алгебра супер-Пуанкаре в 0+1 мерьи. Общие свойства: неотрицательность энергии, связь нарушения суперсимметрии с наличием нулевого уровня энергии, вырожденность уровней. N=2 суперсимметричная квантовая механика: гамильтониан и спектр суперсимметричного гармонического осциллятора.
[GK] раздел 2
[Sh] разделы 15.1, 15.2
Формализм функционального интеграла для суперсимметричной квантовой механики (вывод). Грассманово интегрирование, граничные условия для фермионов (разница между индексом и статсуммой). Суперпотенциал и потенциал, условие нарушения суперсимметрии.
[GK] разделы 3,4
Применение суперсимметричной квантовой механики для нахождения спектров всех классических точнорешаемых потенциалов: форм-инвариантность потенциала, построение серии суперсимметричных гамильтонианов.
[GK] раздел 3
[Sh] разделы 15.3, 15.4
N=1 суперсимметричная квантовая механика, операторы Дирака и Лапласа, гамма-матрицы в разных размерностях пространства.
Вычисление индекса оператора Дирака с помощью суперсимметричной квантовой механики.
[N] раздел 12.9
[GK] Л.Э. Генденштейн, И.В. Криве, Суперсимметрия в квантовой механике, УФН.
[N] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics.
[Sh] Д. А. Шапиро, Представления групп и их применение в физике. Функции Грина.