Точное описание низкоэнергетических свойств N=2 суперсимметричных калибровочных теорий в терминах дифференциалов на римановых поверхностях, обнаруженное в середине 90х Н.Зайбергом и Э.Виттеном, было одним из ключевых результатов того периода развития теории струн. Такое описание дало, в частности, возможность увидеть, как спектр защищённых суперсимметрией (BPS) стабильных состояний низкоэнергетической теории перестраивается при переходе её параметров через некоторые “стенки” на фазовой диаграмме. Настоящая тема посвящена обсуждению способа подсчёта кратностей этих состояний, предложенного Д.Гайотто, Г.Муром и А.Нецке в серии статей, и их связи с аналогичными структурами, которые были обнаружены М.Концевичем и Я.Сойбельманом в алгебраической геометрии и В.Фоком и А.Гончаровым в теории кластерных алгебр.
Суперсимметричные калибровочные теории, основы геометрии римановых поверхностей
N=2 суперсимметричные калибровочные теории в 4d. Электромагнитная дуальность, защищённость спектра BPS частиц, теория Зайберга-Виттена. Спектр частиц в режиме сильной и слабой связи для SU(2) теории без материи, перестройка состояний на кривой маргинальной стабильности.
Основные: [SW1], [B], [GKMMM], [FB1]
Вспомогательные: [AH], [HP], [S], [T], [WO], [F], [FB2]
Подсчёт кратностей BPS состояний при помощи второго спирального супер-трейса. Примеры применения wall-crossing формулы Концевича - Сойбельмана: тождество пентагона, SU(2) теория без материи. [GMN1], [CFIV]
Компактификация 4d теории на окружность, эффективное действие в терминах гиперкэлеровой метрики, её пертрубативная часть и поправки от 4d BPS частиц. Вычисление метрики в терминах голоморфных координат Дарбу. Гипотеза Концевича-Сойбельмана и непрерывность метрики на кривой маргинальной стабильности как её следствие.
Основные: [GMN1], [SW2]
Вспомогательные: [AH], [To], [H1], [HKLR], [APSS], [LR], [OV], [SS]
Теория Зайберга-Виттена для 4d N=2 калибровочной теории как компактификация 6d (2,0) теории на риманову поверхность. Описание в терминах системы Хитчина из перестановки порядка компактификаций. Интерпретация BPS состояний как бран на специальных лагранжевых циклах, их описание в терминах вещественных орбит дифференциала Зайберга-Виттена. Перестройки спектральных сетей.
Основные: [GMN2], [W], [KLMVW]
Вспомогательные: [Se], [Se2], [T], [H2], [BPTY], [St], [M]
Система Хитчина как гиперкэлеров фактор, зависимость от комплексного параметра стабильности. Гиперкэлерова метрика. Описание голоморфных координат Дарбу в пределе малого параметра стабильности при помощи WKB (спектральных) сетей. Плоские связности на кривой из системы Хитчина, координаты Фока-Гончарова, связь мутаций триангуляции с преобразованиями Концевича-Сойбельмана. Триангуляции Фока-Гончарова из спектральных сетей.
[GMN2]
[AH] L. Alvarez-Gaume, S. F. Hassan. Introduction to S-Duality in N = 2 Supersymmetric Gauge Theories. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9701069
[APSS] S. Alexandrov, B. Pioline, F. Saueressig, S. Vandoren. Linear perturbations of hyperkahler metrics. https://arxiv.org/pdf/0806.4620
[B] A. Bilal. Duality in N=2 SUSY SU(2) Yang-Mills Theory: A pedagogical introduction to the work of Seiberg and Witten. https://arxiv.org/abs/hep-th/9601007
[BPTY] L. Baoa, E. Pomoni, M. Taki, F. Yagi. M5-branes, toric diagrams and gauge theory duality. https://arxiv.org/abs/1112.5228
[CFIV] S. Cecotti, P. Fendley, K. Intriligator, C. Vafa. A New Supersymmetric Index. https://arxiv.org/abs/hep-th/9204102
[F] A. Fayyazuddin. Some Comments on N = 2 Supersymmetric Yang-Mills. https://arxiv.org/abs/hep-th/9504120
[FB1] F. Ferrari, A. Bilal. The Strong-Coupling Spectrum of the Seiberg-Witten Theory. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9602082.pdf
[FB2] F. Ferrari, A. Bilal. Curves of Marginal Stability, and Weak and Strong-Coupling BPS Spectra in N=2 Supersymmetric QCD. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9605101.pdf
[GMN1] D. Gaiotto, G. W. Moore, A. Neitzke. Four-dimensional wall-crossing via three-dimensional field theory. https://arxiv.org/pdf/0807.4723.pdf
[GMN2] D. Gaiotto, G. W. Moore, A. Neitzke. Wall-crossing, Hitchin Systems, and the WKB Approximation. https://arxiv.org/pdf/0907.3987.pdf
[GKMMM] A. Gorsky, I. Krichever, A. Marshakov, A. Mironov, A.Morozov. Integrability and Seiberg-Witten Exact Solution. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9505035
[H1] N. Hitchin. Hyperkähler manifolds
[H2] N.J. Hitchin. The Self-duality equations on a Riemann surface
[HKLR] N.J. Hitchin, A. Karlhede, U.Lindstrόm, M.Roce. Hyperkahler Metrics and Supersymmetry
[HP] E. D’Hoker, D.H. Phong. Lectures on Supersymmetric Yang-Mills Theory and Integrable Systems. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9912271
[KLMVW] A. Klemm, W. Lerche, P. Mayr, C. Vafa, N. Warner. Self-Dual Strings and N=2 Supersymmetric Field Theory. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9604034v3
[LR] U. Lindstrom, M. Rocek. Properties of hyperkahler manifolds and their twistor spaces. https://arxiv.org/pdf/0807.1366
[M] A. Mikhailov. BPS States and Minimal Surfaces. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9708068
[OV] H. Ooguri, C. Vafa. Summing up D-Instantons. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9608079
[S] N. Seiberg. Supersymmetry and non-perturbative beta-functions. https://lib-extopc.kek.jp/preprints/PDF/1988/8804/8804520.pdf
[Se] N.Seiberg. Notes on Theories with 16 Supercharges. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9705117
[Se2] N. Seiberg. Non-trivial Fixed Points of The Renormalization Group in Six Dimensions. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9609161
[St] A. Strominger. Open P-Branes. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9512059
[SS] N. Seiberg, S. Shenker. Hypermultiplet Moduli Spaceand String Compactification to Three Dimensions. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9608086
[SW1] N. Seiberg, E. Witten. Monopole Condensation, And Confinement In N=2 Supersymmetric Yang-Mills Theory. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9407087
[SW2] N. Seiberg, E. Witten. Gauge Dynamics and Compactification to Three Dimensions. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9607163
[T] Y. Tachikawa. N=2 supersymmetric dynamics for pedestrians. https://arxiv.org/pdf/1312.2684
[To] D. Tong. Lectures on Gauge Theory. https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html
[W] E. Witten. Solutions Of Four-Dimensional Field Theories Via M Theory. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9703166
[WO] E. Witten, D. Olive. Supersymmetry algebras that include topological charges.