mathphysschool

Квантовая запутанность и CFT

Кураторы: Павел Орлов

Аннотация: Запутанность – важное свойств квантовых систем. Если такую систему можно разделить на две части – возникает естественный вопрос о том, как одна часть запутана с другой. В частности, такой вопрос возникает и в контексте квантовой теории поля (QFT). Важной характеристикой запутанности является энтропия фон Неймана. Предлагается изучить основной подход к вычислению энтропии запутанности в QFT – репличный трюк. Среди всевозможных QFT выделены конформные теории поля (CFT). В двумерном случае конформная симметрия является бесконечномерной. Это позволяет вычислять многие характеристики теории точно. В частности, в двумерных CFT удаётся точно вычислить энтропию запутанности. Примечательно, что ответ определяется лишь одной характеристикой теории – центральным зарядом. Разобраться в этом вычислении – еще одна цель данной секции.

Пререквизиты: основы квантовой механики и квантовой теории поля, в особенности их формулировка в терминах функционального интеграла (кроме п. 1). Предполагается, что нужные разделы CFT мы изучим по ходу дела (см. п. 3). Однако для п. 4 знание CFT (как минимум в рамках п. 3) желательно.

  1. Запутанность в квантовых системах
    • Описание состояния с помощью матрицы плотности. Понятие смешанного состояния. Разложение Шмидта для биразбиения системы. Редуцированная матрица плотности для подсистемы. [P Sec. 2, Hea Sec. 3]
    • Энтропия фон Неймана как мера запутанности, её свойства. Вычисления разложения Шмидта и энтропии на примере двух спинов-1/2. Реньи энтропия и связь с энтропией фон Неймана. [P Sec.2, H Sec. 18, Hea Sec. 2 and 3]
    • Понятия об area-law и volume-law. Энтропия в критической точке. [H Section 18]
  2. Энтропия запутанности в QFT
    • Представление термальной матрицы плотности и редуцированной матрицы плотности с помощью функционального интеграла [H Sec. 4, CC Sec. 2]
    • Репличный трюк для вычисления энтропии Реньи [CC Sec. 2]
    • Твист-поля (twist-fields) в 1+1d QFT [CC Section 2]
    • См. также [H Sec. 19, Hea Sec. 4]
  3. Введение в 2d CFT
    • Локальные и глобальные конформные преобразования в 2d [L Lec. 2, DF Sec. 5]
    • Связь конформной инвариантности теории и бесследовости тензора энергии-импульса [L Lec. 1, DF Sec. 4]
    • Конформные тождества Уорда. Примарные поля. Преобразование тензора энергии-импульса под действием конформных отображений [L Lec. 3, DF Sec. 5]
  4. Вычисление энтропии в 2d CFT
    • Энтропия интервала для бесконечного пространства и нулевой температуры. Вычисление среднего от тензора энергии-импульса на n-листной Римановой поверхности с помощью отображения на комплексную плоскость. Доказательство примарности твист-полей, вычисление их конформной размерности. [CC Sec 3, PA Sec 2].
    • Обобщение результата на конечную температуру, конечный размер системы. Конформные преобразования, сводящие задачу к пункту (а). [CC Sec 3, PA Sec 2].
    • Энтропия запутанности некритической модели в пределе большой корреляционной длины (можно без строгих доказательств). [CC Sec 5]

Литература