mathphysschool

Введение в тропическую геометрию

Кураторы: Селянин Федор

Абстракт: Любой алгебраической кривой на плоскости можно сопоставить многоугольник Ньютона: выпуклую оболочку показателей мономов задающего её полинома. Многие свойства кривой описываются при помощи этого многоугольника. Параллельно можно рисовать амёбы комплексных кривых, представляющие собой специальные проекции их на (вещественную) плоскость. Мы прочувствуем, как эти подходы дополняют друг друга.

Пререквизиты: гладкие многообразия и их когомологии, дифференциальные формы, двойственность Пуанкаре. Для темы 5 необходимо знать начала комплексного анализа, выпуклые функции, торические компактификации (в размерности 2), вероятно, потребуются пояснения от куратора.

  1. Плоские алгебраические кривые (KLP §1.7-2.2, 3.2)
    • Накрытия, Формула Римана-Гурвица, теорема Безу, рациональная кривая, род кривой степени n в проективной плоскости (разные доказательства).
  2. Гладкие торические многообразия (Kh §1, KKhE §2.1, §4)
    • Гладкие торические многообразия, примеры, кольцо когомологий в размерности 2, смешанный объем в размерности 2
  3. Кривые в двумерном торе (KKhE §4, Kh §1)
    • Кольцо условий, хорошая компактификация, многоугольник Ньютона и тропический веер кривой, число проколов, род
  4. Амёба кривой (V, GKZ §6.1, FPT §1,2,4)
    • Определение амёбы, амеба прямой в плоскости, выпуклость компонент дополнения, целые точки и компоненты дополнения, (амёба гиперплоскости)
  5. Площадь амёбы: кривые Харнака (V ,MR, Vhtml)
    • Кривые Харнака, образующие гомологий и проколы, ограничение на площадь амёбы (обзорно) и точность оценки для кривых Харнака

Литература:

[KKhE] – Б. Я. Казарновский, А. Г. Хованский, А. И. Эстеров “Многогранники Ньютона и тропическая геометрия”

[KLP] – М. Э. Казарян, С. К. Ландо, В. В. Прасолов “Алгебраические кривые. По направлению к пространствам модулей”

[Kh] – А. Г. Хованский “Многогранники Ньютона и торические многообразия”

[FPT] – M. Forsberg, M. Passare, A. Tsikh, “Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas”

[GKZ] – I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky “Discriminants, resultants, and multidimensional determinants”

[MR] – G. Mikhalkin, H. Rullgard “Amoebas of maximal area”

[V] – O. Viro “what is an amoeba?”

[Vhtml] – (http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/rus-educ-texts.html)http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/rus-educ-texts.html