mathphysschool

Детерминантные формулы для тау-Функций уравнений Пенлеве.

Кураторы: Вадим Прокофьев, Андрей Григорьев

Аннотация: Уравнения Пенлеве тесно связаны с интегрируемыми системами и изомонодромными деформациями, а также встречаются в конформной теории поля, статистической физике и матричных моделях. В курсе будут изучены симметрии уравнений Пенлеве — преобразования Бэклунда. Эти преобразования описываются в терминах групп, порождённых отражениями относительно плоскостей, ортогональных образующим некоторых решёток. Мы рассмотрим уравнения, связанные с системами корней $A^{(1)}_{n}$. Для них мы получим явные формулы, связывающие решения, разница параметров которых лежит в некоторой решётке. Все определения, необходимые для понимания, будут даны в ходе изложения.

Пререквизиты: Линейная алгебра, основы теории конечных групп.

  1. Пенлеве 4 [0, Главы 2,3], [1]
    • Симметричный и более привычный вид уравнений
    • Пространство параметров и действие на нем преобразований Бэклунда
    • Тау-функции, билинейные уравнения на тау-функции
  2. $\phi$-факторы. [0, Глава 4], [1,2,4]
    • Решетка для тау-функций для Пенлеве 4
    • Полиномы Окамото
    • Общий случай аффинной группы Вейля и $\phi$-факторы в общем случае
  3. Тождество типа Якоби-Труди [0, Глава 7]
    • Линейные преобразования матриц
    • Доказательство формулы типа Якоби-Труди для матричных преобразований
    • Переход к аффинному случаю
  4. Формализм Лакса [0, Глава 8]
    • Уравнения Пенлеве как условие согласования линейных задач
    • Пример для Пенлеве 4
    • Преобразования Бэклунда на языке линейной задачи
  5. Связь с функциями Шура.[0, Глава 5]
    • Диаграммы Юнга и Диаграммы Майа в обычном и аффинном случаях
    • Формула Якоби-Труди для полиномов Шура
    • Специальные параметры, Полиномы Окамото как функции Шура

Основная литература:

[0] – PAINLEVÉ EQUATIONS THROUGH SYMMETRY By MASATOSHI NOUMI

Доп. литература:

[1] – Symmetries in the fourth Painlev´e equation and Okamoto polynomials (arXiv:q-alg/9708018)

[2] – Higher order Painlevé equations of type A^(1)_l (arXiv:math/9808003)

[3] – Affine Weyl groups, discrete dynamical systems and Painleve equations (arXiv:math/9804132)

[4] – The fourth Painlevé equation and associated special polynomials (10.1063/1.1603958)