mathphysschool

Пространства начальных данных уравнений Пенлеве.

Кураторы: Антон Щёчкин

Аннотация: Дифференциальные и разностные уравнения Пенлеве имеют важное значение в современной математической физике. Одним из мощных подходов к изучению этих уравнений стало изучение т.н. пространств начальных данных. Сначала Окамото, а затем Сакаи применили к ним алгебро-геометрический подход, что позволило им классифицировать все дифференциальные и разностные уравнения Пенлеве. Эта классификация Сакаи параметризует уравнения Пенлеве через некоторые классы эквивалентности поверхностей $\mathbb{CP}^2$, раздутых в 9 точках. Мы последовательно изучим построение пространств начальных данных от случая простейших линейных дифференциальных уравнений и заканчивая q-разностными уравнениями Пенлеве.

Пререквизиты:

  1. Неопределенности начальных данных дифференциальных уравнений и их разрешения через раздутия1. [0, раздел 2], [2, гл.2, параграф 4]
    • Алгебро-геометрическое определение раздутия, простейшие примеры разрешения неопределенностей.
    • Разрешение особенностей пространства начальных данных для уравнений Пенлеве: примеры Пенлеве IV и Пенлеве VI.
  2. Алгебро-геометрическая структура пространств начальных данных. [0, раздел 3], [1, раздел 3]
    • Решетки Пикара, исключительные дивизоры раздутия, аффинные группы Вейля симметрий пространств начальных данных.
    • Примеры для Пенлеве IV и Пенлеве VI.
  3. Разностные уравнения Пенлеве. [0, раздел 4]
    • Точечная конфигурация для $\mathrm{q{-}P(E_6^{(1)})}$ и $\mathrm{d{-}PI}$.
  4. Классификация Сакаи и уравнения Пенлеве из точечных конфигураций. [0, раздел 5], [1, разделы 4, 5, 6]
    • Общая точечная конфигурация и эллиптическое уравнение Пенлеве.
    • Вырождение к q- и d- Пенлеве. Дифференциальная динамика.

Литература

[0] (основная) 1509.08186 K. Kajiwara, M. Noumi, Y. Yamada, Geometric aspects of Painleve equations.

[1] (более математичное изложение) Hidetaka Sakai, Rational Surfaces Associated with Affine Root Systems and Geometry of the Painlevé Equations, Commun. Math. Phys. 220, 165 – 229 (2001)

[2] И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии, т.1

  1. В ранних изданиях раздутие может называться сигма-процессом. ↩