mathphysschool

CFT, Скрининги etc

Кураторы: Т. Кенжаев, И. Чабан, А. Григорьев

Аннотация: Важнейшим объектом при изучении двумерных CFT является алгебра Вирасоро — пространство состояний каждой конформной теории допускает описание в терминах неприводимых представлений старшего веса. Теорема Каца-Фейгина-Фукса дает явное описание всех таких представлений, результатом секции будет ее доказательство. По дороге мы обсудим вертексные операторы, из которых строятся поля, и конформные блоки (некоторые функции, из которых строятся корреляторы). Будет рассмотрена конструкция, позволяющая во многих случаях проводить явные вычисления, — представление алгебры Вирасоро и вертексных операторов в пространстве Фока (“бозонизация”). Также мы обсудим скрининги — специальные сплетающие операторы между представлениями алгебры Вирасоро. Они играют важную роль в предлагаемом доказательстве теоремы К-Ф-Ф и в некоторых случаях дают явные интегральные формулы для конформных блоков.

Пререквизиты: Линейная алгебра, Алгебры Ли и их представления (на уровне определений)

  1. Вводный доклад
    • Определение Vir как центрального расширения ([КРР] §1.3)
    • Напоминание: Модуль Верма, PBW ([КРР] §3.2, [B19] раздел 2)
    • Лемма о разложении подмодуля ([КРР] Лемма 1.1)
    • Форма Каца-Шаповалова, Сингулярные вектора ([КРР] §3.3, [B19] раздел 2)
    • Примеры ([L] Lecture 5, p. 32-34, [B19] Section 2)
    • Теорема Каца-Фейгина-Фукса (формулировка) ([L] Lecture 5, p. 32-34, [B19] section 2)
  2. Бозонизация
    • Алгебра Гейзенберга, Фоковский модуль, Нормальное упорядочение, форма Каца-Шаповалова, Характер Фоковского модуля ([КРР] §2.2)
    • Бозонизация при $c = 1$, поправка для общего $c$, сдвижка формы Каца-Шаповалова ([КРР] §2.3, [Б17] - раздел 1.1)
    • Условие наличия сингулярных векторов как условие на ядро бозонизации. Пример. ([КРР] §2.2)
    • Экспоненты, упорядочивание ([L] Lecture 7, p. 45)
  3. Вертексные операторы и конформные блоки
    • Эквивалентность коммутационных соотношений OPE ([МБГ] 4.6, 4.7, привести примеры для Vir и Heis, [FBZ] §3.3.1)
    • Вертексные операторы ([B19] section 3.2, [МБГ] задачи, листок 5, задача 6)
      • Как примарные поля алгебры Вирасоро
      • Как сплетающие операторы
    • Экспоненты как бозонизация вертексного оператора (Проверить по определению)
    • Конформные блоки, определение, Разложение кореллятора в CFT (формулировка) ([B19] section 3.3, GIL13 section 3.1, )
    • Вычисление конформного блока при условии $\sum_{i}\alpha_i = NQ$. ([Б17] раздел 1.2)
  4. Скрининги и вычисление конформных блоков
    • Скрининги как сплетающие операторы ([Б17] раздел 1.3)
    • Вычисление конформного блока при условии $\sum_{i}\alpha_i = Q + mb + nb^{-1}$. ([Б17] раздел 1.4)
    • Детерминантная формула для $c = 1$ конформного блока ([Б17] задача 2.1, [MM] section 3)
  5. Доказательство Теоремы Каца через скрининги
    • Комбинаторная часть доказательства ([КРР] §8.1, 8.2, 8.3)
    • Сингулярные векторы из скринингов (примеры) ([Б17] разделы 2.2, 2.3, А.1)

Список литературы:

[КРР] – Кац, Райна, Рожковская, Бомбейские Лекции о представлениях со старшим весом бесконечномерных алгебр Ли

[Б17] – Михаил Берштейн, конспект лекций

[B19] – Mikhail Bershtein, lectures

[L] – Alexey Litvinov, lectures

[FBZ] – E. Frenkel, D. Ben-Zvi, Vertex algebras and Algebraic curves

[GIL13] – O. Gamayun, N. Iorgov, O. Lisovyy, article

[MM] – A. Mironov, A. Morozov, article

[МБГ] – А. Маршаков, М. Берштейн, П. Гавриленко, струны и конформная теория поля, лекции и задачи