mathphysschool

Сигма-модели

Кураторы: Алексей Бычков

Пререквизиты: некоторые главы дифференциальной геометрии (главным образом, геометрия групп Ли и однородных пространств), конформной теории поля (для п.5), понятие о перенормировках в квантовой теории поля (для п.4)

Абстракт

В секции предлагается изучить основные классические и квантовые свойства двумерных сигма-моделей. Это двумерные теории поля с таргет-пространством, диффеоморфным гладкому многообразию M, представляющие исключительный интерес для большого числа разделов математической физики, от теории твердого тела до теории струн. На примерах теории PCF, для которой M = G – группа Ли, и теории, где M = G/H – симметрическое однородное пространство, предлагается изучить следующие вопросы:

• классическая интегрируемость
• ренормгрупповые потоки
• конформность на квантовом уровне
• неабелева бозонизация

1. Вводный доклад. Модель PCF.
   • линейная и нелинейная сигма-модель, получение последней из первой; общий вид действия нелинейной сигма-модели, комментарий о связи с действием бозонной струны
   • модель PCF как эффективная теория [PW, первые две страницы]
   • классическая динамика модели PCF: симметрии, сохраняющиеся токи, уравнения движения. Пример PCF-модели группы SU(2), вычисление метрики [Z, гл. 3]
   • условие нулевой кривизны в PCF, комментарии насчет проблем с голоморфной факторизацией. [E, 2.1], [Z, гл. 3]
   • связность Лакса и (почти) классическая интегрируемость PCF. Матрица монодромии и янгианные заряды. [Z, гл. 3]

2. Модель PCF + WZW(N)

   • мотивация: исправить отсутствие голоморфной факторизации в модели PCF. догадка о конформности теории WZW [E, 2.2]

   • действие WZW, его независимость от непрерывных деформаций сечения, уровень [E, 2.2], [Z, 5.2]

   • восстановление голоморфной факторизации при добавлении члена WZW, конформность модели WZW на квантовом уровне [E, 2.2]

   • B-поле в модели PCF+WZW. Вычисление метрики и B-поля PCF-WZW модели для группы SU(2).

3. Сигма-модели однородных пространств

   • напоминание о геометрии однородных пространств; группа симметрий G, группа изотропии H; G/H. примеры однородных пространств [Z, гл. 2]

   • понятие симметрического пространства, связь наличия геодезических отражений и структуры коммутаторов в разложении Lie(G) = Lie(H) + m [ДНФ, §6.1]

   • метрика на однородном (симметрическом) пространстве G/H, ее уникальность для полупростой G [ДНФ, §6.3], [K, гл. 18]

   • действие G/H-модели как интеграла от метрики на однородном пространстве (см пункт с); получение действия G/H-модели из действия G-модели калиброванием глобальных H-симметрий [Z, гл. 4]

   • связность Лакса для сигма-модели симметрического однородного пространства, классическая интегрируемость [Z, гл. 4]

   • вычисление метрики G/H-модели по рецепту, данному в пп. c и d для SO(3)/SO(2) и для SU(2)/U(1). Они совпадут. [Z, гл. 4]

   • (***) Аналогично для SU(3)/SU(2) и для SO(6)/SO(5). Они не совпадут.

4. Перенормировки в сигма-моделях

   • общие квантовые свойства сигма-моделей, напоминание (очень кратко) о бета-функции и уравнении ренормгруппы в общей квантовой теории поля [Z, гл. 6]

   • общий вид однопетлевой бета-функция в сигма-модели без B-поля (поток Риччи)

   • (*) вычисление бета-функции в модели PCF методом фонового поля [Z, гл. 6]

   • тензор Риччи на группах Ли, группы Ли – эйнштейновы римановы многообразия (с канонической метрикой на группе) [K, §8.5], асимптотическая свобода в теории PCF [Z, гл. 6]

   • случай общей сигма-модели без B-поля. Нормальные римановы координаты, вычисление однопетлевой бета-функции в нормальных координатах [T, 7.1]

   • (***) бета-функция в сигма-модели с B-полем, однопетлевые уравнения, бета-функция в модели WZW, однопетлевая квантовая конформность модели WZW

5. Квантовые модели WZW

   • алгебра токов в контексте модели WZW (*получение OPE J(x) J(y) = … из канонических скобок Пуассона), уровень и структурные константы алгебры глобальных симметрий в OPE [E, 3.1]

   • Получение коммутационных соотношений между лорановскими модами J(z), аффинная алгебра Каца-Муди [E, 3.2]

   • конструкция Шугавары, тензор энергии-импульса Шугавары, вычисление T(z) J(w), T(z) T(w) [E, 3.3]

   • центральный заряд, описание в терминах свободных бозонов или фермионов, бозон-фермионное соответствие, неабелева бозонизация (на примере O(N)-модели) [E, 3.4, 3.5]

Литература:

[ДНФ] – Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко “Современная геометрия”

[Z] – K. Zarembo, “Integrability in Sigma-Models” 1712.07725

[E] – Lorenz Eberhardt, “Wess-Zumino-Witten Models” lectures

[PW] – A. M. Polyakov and P. Wiegmann, Theory of nonabelian goldstone bosons in two dimensions,

[T] – D. Tong “String Theory”

[К] – М. О. Катанаев “Геометрические методы в математической физике