Куратор: Никита Игнатюк
Аннотация: Вершинные модели (они же ice-type models) являются важным примером точнорешаемых моделей статистической физики. Сравнительно несложным, но интересным представителем класса вершинных моделей является 6-вершинная модель, демонстрирующая наличие нескольких нетривиальных фаз, а также критической точки. В этом модуле мы изучим определение и свойства 6-вершинной модели, а также на ее примере познакомимся с важными концептами интегрируемых систем, такими как $R$-матрица, $RLL$-алгебра, уравнение Янга-Бакстера и анзац Бете. В конце блока мы получим простейший пример детерминантной формулы, а именно формулы Изергина для DWPF (Domain Wall Partition Function). Все изложенные в курсе понятия имеют широкие приложения и далекоидущие обобщения, встречающиеся в самых разных разделах математической и теоретической физики, а также алгебраической геометрии.
Пререквизиты:
линейная алгебра, математический анализ, основы теории функций комплексного переменного, основы термодинамики и статистической физики (статсумма, свободная энергия, температура).
Определение 6-вершинной модели [Reshetikhin, Zabrodin, Baxter, Slavnov, Pugai]
Статсумма и (ряд-в-ряд) трансфер-матрица 6-вершинной модели. $R$-матрица 6-вершинной модели, индексная запись.
Коммутирующие трансфер-матрицы, задача совместной диагонализации.
Уравнение Янга-Бакстера как условие интегрируемости, графическая интерпретация.
Запись уравнения Янга-Бакстера в индексах, матричная запись.
Связь $6$-вершинной модели с $XXZ$ цепочкой
$RLL$-алгебра [Reshetikhin, Zabrodin, Slavnov, Pugai]
Следствия уравнения Янга-Бакстера для коэффициентов, спектральный параметр, тригонометрические параметризации.
$L$-оператор, $RLL$-алгебра, определяющие соотношения и графическая интерпретация.
Анзац Бете в 6-вершинной модели. [Reshetikhin, Zabrodin, Slavnov, Pugai, Lashkevich]
Построение векторов Бете
Вывод уравнений Бете
Тривиальность случая $\Delta>1$, свободная энергия в этом случае
Решение уравнений Бете в термодинамическом пределе для $\Delta<1$ [Reshetikhin, Zabrodin, Slavnov, Pugai, Lashkevich, free energy strict]
Термодинамический предел уравнений Бете, гипотеза о структуре нулей
Вывод свободной энергии в случаях $-1<\Delta<1$ и $\Delta<-1$
Фазовая диаграмма, обсуждение смысла фаз.
Детерминантная формула Изергина [garcia, Slavnov]
DWPF статсумма
Уменьшающее свойство и полюса статсуммы
Рекуррентные соотношения и вывод формулы Изергина
Литература
[Pugai] Лекции Института Теоретической Физики им. Ландау
[Reshetikhin] Лекции Решетихина по 6-вершинной модели
[Zabrodin] Лекции Забродина по анзацу Бете и интегрируемым системам
[Baxter] Exactly solvable models of statistical mechanics
[free energy strict] On the six-vertex model’s free energy
[Slavnov] Slavnov, «Algebraic Bethe Ansatz»