Куратор: Прокофьев Вадим
Аннотация: В курсе предлагается рассмотреть основы дискретных интегрируемых систем. Мы сосредоточимся на интегрируемых системах на квад-графах. Оказывается, что для определенного подкласса этих систем существует их полная классификация. В рамках курса данная классификация будет доказана. Начнем с одного из определений интегрируемости в дискретном случае и покажем, как из непрерывных интегрируемых систем получаются, дискретные и наоборот. Кроме того мы рассмотрим класс солитонных решений для дискретных уравнений.
Пререквизиты: Линейная Алгебра, желательно шапочное знакомство с непрерывными интегрируемыми системами, хотя бы на уровне знания уравнения КдФ или синус-Гордона.
Связь дискретной и непрерывной интегрируемости [HJN, гл 1,2,5]
Преобразования Бэклунда интегрируемых систем, Примеры для уравнений Синус-Гордона и КдВ.
Дискретные системы, получающиеся из них.
Обратный переход из дискретных к непрерывным уравнениям.
Определение интегрируемости. [HJN, гл. 3], [ABS], [ДА, гл. 2]
Согласованность вокруг граней куба.
Интерпретация согласованности через уравнение нулевой кривизны, соотношение Янга-Бакстера.
Классификация дискретных уравнений на квад-графах.
Доказательство ABS классификации. [ABS], [ДА, гл. 2]
Солитонные решения с помощью матриц Коши. [HJN, гл. 9]
Литература:
[ABS] – V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris “Classification of Integrable Equations on Quad-Graphs. The Consistency Approach”
[HJN] - J. Hietarinta, N. Joshi, F. Nijhoff “Discrete systems and integrability”.
[ДА] - В. Адлер “Классификация дискретных интегрируемых систем” (докторская диссертация).