Куратор: Василий Болбачан
Аннотация: Классические модулярные формы - это голоморфные функции на верхней полуплоскости, которые хорошо себя ведут относительно дробно линейных замен переменной. Их появление в различных разделах математики объясняется двумя фактами: если зафиксировать так называемый вес, то пространство таких функций будет конечномерным; модулярные формы естественно возникают в разных разделах математики. Таким образом появляются линейные соотношения между модулярными формами имеющими разное происхождение. Предлагается изучить основные свойства модулярных форм и рассмотреть несколько приложений. Первая тема посвящена модулярным формам для SL2(Z). В этом случае все модулярные формы можно явно классифицировать. Вторая и третья темы посвящены модулярным формам для произвольной конгруенц подгруппы. Оказывается, что модулярные формы можно интерпретировать как сечения некоторых расслоений на соответствующих римановых поверхностях. Последние две темы посвящены приложениям: четвертая тема к квадратичным формам и пятая - к свойствам функции рамануджана. Темы отмеченные символом (∗) могут быть опущены по желанию докладчика.
Пререквизиты: ТФКП, теория групп, линейная алгебра. Первая две темы являются необходимыми для последующих. Остальные темы независимы.
Модулярные формы относительно конгруенц-подгрупп.
Определения и примеры.
Ряды Эйзенштейна и их разложение в ряд Фурье.
Параболические формы.[DS05, 1.1,1.2].
Описание фундаментальной области для SL2(Z). [Ser12, 7.1].
Классификация модулярных форм для SL2(Z).
Формула для размерности.
Поле модулярных функций изоморфно полю рациональных функций от j-инварианта.
Ряд Эйзенштейна в весе 2: определение и функциональное уравнение.
Разложение дискриминанта в бесконечное произведение.
Порядок роста коэффициентов.[Ser12, 7.3,7.4].
Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют E2, E4, E6.
Квазимодулярные формы относительно SL2(Z). [Zag08, 5-5.1].
Модулярная форма веса k удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению порядка k+1 с алгебраическими коэффициентами. Примеры.[Zag08, 5.4].
(*) Доказательство иррациональности ζ(3).Квазимодулярные формы относительно произвольной подгруппы.
Квадратичные формы.
Конструкция решетки E8 и решетки Лича.
Тэта функция положительно определенной четной унимодулярной решетки является является модулярной формой относительно SL2(Z) ([Ser12, 7.6]).
Асимптотика для числа представлений числа четной унимодулярной квадратичной формой [Zag08, prop. 12]
(*) Формула для представления числа в виде 2 и 4 квадратов [Zag08, 3.1].
Определение операторов Гекке (для случая SL2(Z)) и их базовые свойства.
Скалярное произведение Петерсона.
Совместная диагонализуемость операторов Гекке.
Пример в весах 12 и 24. Следствие: мультипликативность τ функции Рамануджана.
L функция Гекке собственной формы.
(*) Аналитическое продолжение и функциональное уравнение. [Zag92, 2]
Литература
[DS05] Fred Diamond and Jerry Michael Shurman. A first course in modular forms, volume 228. Springer, 2005.
[Ser12] Jean-Pierre Serre. A course in arithmetic, volume 7. Springer Science & Business Media, 2012.
[Zag92] Don Zagier. Introduction to modular forms. In From number theory to physics, pages 238–291. Springer, 1992.
[Zag08] Don Zagier. Elliptic modular forms and their applications. The 1-2-3 of modular forms: Lectures at a summer school in Nordfjordeid, Norway, pages 1–103, 2008.
Доклад 1 Видео Текст часть 1, Текст часть 2