Кураторы: Алексей Бычков, Алексей Рослый
Аннотация: Гравитационный инстантон – это самодуальное решение уравнений Эйнштейна. Исторически среди всех самодуальных решений особенный интерес представляли так называемые асимптотически локально евклидовы (ALE) решения. Дело в том, что, во-первых, они обладают нулевым классическим действием, а поэтому доминируют в (гипотетическом) функциональном интеграле для гравитации; а во-вторых, как и для инстантонов в теории Янга-Миллса, на пространственной бесконечности метрика становится плоской, так что, самодействие гравитации выключается, что позволяет интерпретировать ALE решения как in- и out-состояния в (гипотетической) теории квантовой гравитации. Егучи и Хансон, а также независимо от них Калаби, в 1978-1979 годах изобрели первый пример пространства-времени, удовлетворяющим как условиям самодуальности, так и условиям ALE. И пусть в создании пертурбативной квантовой гравитации это решение и не поучаствовало, оставшись одним из фактов истории науки, кураторы этой секции уверены, что оно, как и всякое другое точное решение, самоценно. На этой секции предлагается, следуя начальным разделам прекрасно написанной оригинальной статьи [EH79], изучить одноинстантонное решение Егучи-Хансона. Будет показано, что оно обладает рядом замечательных свойств.
Классическое действие на этом решении обращается в ноль
Пространственная бесконечность $r\rightarrow\infty$ представляет собой не $S^3$, как было бы для чернодырных, например, решений, а $S^3/\mathbb{Z}_2 = \mathbb{RP}^3$. Отсюда и название “асимптотически \textit{локально} евклидово”.
Как гладкое многообразие оно диффеоморфно $T^*S^2$
Метрика Егучи-Хансона действительно кэлерова
Метрика Егучи-Хансона в действительности не только кэлерова, но и гиперкэлерова (не успеем, скорее всего)
Напоминание: теория Янга-Миллса. [EH79, введение], [EGH80, разделы 9.1, 9.2]
Уравнения Янга-Миллса и их самодуальные решения.
Инстантон BPST в $\mathrm{SU}(2)$-теории: радиально-симметричный анзатц, дифференциальное уравнение на функцию $\rho(r)$, решение BPST.
Напоминание: теория гравитации.
Уравнения Эйнштейна в пустоте. Уравнения самодуальности влекут уравнения Эйнштейна.
Формулировка гравитации Эйнштейна в терминах переменных Картана: тетрады и спиновые связности, 2-формы кручения и кривизны, структурные уравнения [EGH80 раздел 3.1].
Примеры: круглая двумерная сфера и решение Шварцшильда [EGH80 примеры к разделу 3.2].
Самодуальные римановы многообразия
Условия самодуальности на кривизну и спиновую связность. [EGH80 раздел 3.3]
Радиально-симметричный анзатц самодуальной спиновой связности, уравнение на $\rho(r)$.
Решение Егучи-Хансона [EGH79 раздел B]; [EGH80 стр. 253]
Свойства решения Егучи-Хансона.
ALE, сечения постоянного $r$ диффеоморфны $S^3/\mathbb{Z}_2$, кэлеров потенциал [EGH79 раздел II С].
Описание пространства Егучи-Хансона как тотального пространства кокасательного к двумерной сфере.
Действие и топологические инварианты*.
(*) Другие гравитационные инстантоны: метрика FS на $\mathbb{CP}^2$, Taub-NUT, K3, etc
Многоинстантонные решения, топология линзового пространства.
Инстантоны Янга-Миллса на фоне гравитационного инстантона.
Модули гравитационных инстантонов: первый класс Понтрягина = число инстантонов, etc.
Литература
[EGH80] Tohru Eguchi, Peter Gilkey и Andrew Hanson. “Gravitation, Gauge Theories And Differential Geometry”. В: Physics Reports 66 (нояб. 1980), с. 213-393.doi: 10. 1016/0370-1573(80)90130-1.
[EH79] Tohru Eguchi и Andrew J. Hanson. “Selfdual Solutions to Euclidean Gravity”. В: Annals Phys. 120 (1979), с. 82. doi: 10.1016/0003-4916(79)90282-3.
## Конспекты