Кураторы: Прокофьев Вадим
Аннотация: Мы рассмотрим уравнение Кортевега де Фриза и его обобщение в виде уравнения Кадомцева Петвиашвили. В данной теме мы рассмотрим эти уравнения с разных сторон и на их примере увидим важные аспекты, актуальные для многих интегрируемых систем. Естественной переменной, для уравнения КП является тау-функция. Через нее удобно переписывать само уравнение и кроме того его решение часто принимает наиболее удобный вид именно в терминах тау-функции. Кроме того интегрируемые уравнения появляются не сами по себе, а в виде иерархий уравнений на бесконечный набор времен, однако, существуют способы записать их в компактном виде. Помимо этого в последнем докладе мы рассмотрим широкий класс решений иерархии КП, которые связаны с солитонами и механическими интегрируемыми системами типа Руйсенаарса.
Пререквизиты: Умение дифференцировать, интегрировать, начальное знание линейной алгебры.
Уравнения КдВ и КП. [H. Гл.1,3, МДД гл.3]
Запись в билинейной форме через тау-функцию.
Производная Хироты.
Односолитонное и многосолитонные решения.
Алгебра псевдодифференциальных операторов. [Z гл. 2,3], [МДД, гл 2,3], [D гл. 2, 5], [WS гл 2]
Уравнения КдВ и КП как уравнение Лакса.
Функция Бейкера Ахиезера как решение линейной задачи.
Псевдодифференциальные операторы, отвечающие многосолитонным решениям иерархии.
Уравнения Хироты. [Z гл 2], [D гл. 6], [WS гл 2]
Интегральное уравнение Хироты для иерархии КП.
Вывод дифференциальных уравнений иерархии.
Разностное уравнение Хироты и его эквивалентность всей иерархии.
Почти переплетающиеся матрицы как решение иерархии КП. [KG]
Почти переплетающиеся матрицы и дискретное уравнение Хироты.
Многосолитонные решения.
Связь с механическими интегрируемыми системами.
Литература:
[H] - R. Hirota. “The direct Method in soliton theory”
[МДД] - Т. Мива, М. Джимбо, Э. Дате “Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры”
[D] - L. Dickey “Soliton equations and Hamiltonian systems”
[Z] - A. Zabrodin “Lectures on nonlinear integrable equations and their solutions”
[WS] - R. Willox, J. Satsumo “Sato theory and Transformation Groups. A Unified Approach to integrable systems” (глава в сборнике “Discrete Integrable Systems”)
[KG] - A. Kasman, M. Gekhtman “Solitons and “almost intertwining” matrices”
Доклад 2 Текст, Видео часть 1, Видео, часть 2
Доклад 3 Текст часть 1, Видео часть 1