mathphysschool

Эволюция Шрамма–Левнера, статистическая физика и конформная теория поля

Куратор: Борозенец Николай

Аннотация: Эволюция Шрамма-Лёвнера–это семейство стохастических процессов на плоскости, обладающих конформной инвариантностью и марковским свойством. Было доказано, что оно описывает непрерывный предел различных двумерных решеточных моделей статистической механики, таких как критическая перколяция, критическая модель Изинга, модель двойного димера, блуждания без самопересечений и других критических моделей статистической механики, которые обладают конформной инвариантностью. SLE связаны с конформной теорией поля, которую мы обсудим в ходе курса; Некоторые математически нестрогие предсказания, сделанные физиками, были доказаны с помощью SLE.

Пререквизиты: Двумерный комплексный анализ, теория вероятности. Базовые модели статистической физики (перколяция, модель Изинга,…). Основы конформной теории поля.

  1. Эволюция Шрамма–Левнера.

    • Комплексный анализ: теорема Римана, конформные отображения и оболочки, гидродинамическая нормализация, вместимость оболочек [1, Section 3.1].

    • Цепи Лёвнера [1, Section 3.2.1].

    • Аргумент Шрамма: марковское свойство и стационарность приращений конформно-инвариантных интерфейсов [1, Section 4.1].

    • Хордовые SLE определение и основные свойства: фазы, двойственность, локальность, ограничение [1, Section 4.2], [2, Sections 3.4, 6.1, 6.2]

    • Теоретико-групповая формулировка SLE [1, Section 4.4]

  2. SLE/CFT соответствие

    • Трюк с мартингалом [1, Sections 5.1, 5.2].

    • SLE/CFT соответствие в хордовом случае. Примеры [1, Section 5.3.2], [1, Section 5.3.1]

    • SLE/CFT соответствие с использованием операторного формализма CFT [1, Section 5.3.3]

  3. Вычисления в SLE

    • Вероятности столкновения с границей (вероятностные аргументы и аргументы из CFT) [1, Section 7.1]

    • Формулы пересечения Карди (вероятностные аргументы и аргументы из CFT) [1, Section 7.2].

    • Фрактальные размерности (вероятностные аргументы и аргументы из CFT) [1, Section 7.2].

Литература:

[1] M. Bauer and D. Bernard. 2D growth processes: SLE and L¨owner chains. Physics reports, 432(3-4):115–221, 2006.

[2] J. Cardy. SLE for theoretical physicists. Annals of Physics, 318(1):81–118, 2005.

[3] W. Kager and B. Nienhuis. A guide to stochastic L¨owner evolution and its applications. Journal of statistical physics, 115:1149–1229, 2004.

[4] G. F. Lawler. Conformally invariant processes in the plane. Number 114. American Mathematical Soc., 2008.

[5] W. Werner. Random planar curves and Schramm-Loewner evolutions, 2003.