mathphysschool

Димеры: Предельные формы и флуктуации

Куратор: Николай Борозенец

Аннотация: Планарная модель димеров, то есть, паросочетания на, скажем, квадратной или шестиугольной решетке, является одной из самых хорошо изученных моделей двумерного случайного поля (двумерной поверхности). Особенностью данной модели является наличие фиксировных граничных условий, которые существенно влияют на внутренние свойства и приводят к появлению так называемой предельной формы –- существованию фиксированного неслучайного термодинамического предела, в котором сосуществуют несколько фаз, разделенных кривыми. Особый интерес также вызывают флуктуации около детерминированной предельной формы модели димеров, существующие на меньшем масштабе и в определенных конформных координатах определяющиеся безмассовым свободным бозоном (Гауссовским свободным полем, двумерном аналоге броуновского движения).

Пререквизиты: Основы статистической механики, кобинаторики, комплексного анализа и теории вероятностей

  1. Теория Кастеляйна и статистическая сумма. [Ken09], введения к статьям [KOS06, KO07]:

    • Определение модели димеров на конечных двудольных планарных графах. Примеры: модель замощения домино и модель замощения ромбами.

    • Функция высоты в модели димеров.

    • Теория Кастеляйна: определение матрицы Кастеляйна и выражение статсуммы димерной модели через определитель матрицы Кастеляйна.

    • Вычисление статсуммы модели замощения домино.

    • Вычисление статсуммы модели замощения ромбами на торе и вычисление свободной энергии.

  2. Предельная форма:

    • Теорема о предельной форме (вариционный принцип) для модели замощения домино [CKP01]..

  3. Конформная структура на предельных формах:

    • Задача минимизации поверхностного натяжения и комплексное уравнение Бюргерса [KO07].

    • Особенности минимумов на границе между фазами [KO07].

  4. Флуктуации:

    • Определение Гауссовского свободного поля [She07].

    • Гауссовское свободное поле как слабый предел флуктуаций функции высоты в модели замощения ромбами [Ken08].

  5. Фазы:

    • Существование и единственности эргодической меры Гиббса для фиксированного наклона [She05].

    • Локальные статистики флуктуаций около точки определяются эргодической мерой Гиббса с наклоном касательной плоскости к предельной форме в этой точке [Ken08].

    • Описание фаз модели димеров [KOS06].

Литература

[CKP01] Henry Cohn, Richard Kenyon, and James Propp. A variational principle for domino tilings. Journal of the American Mathematical Society, 14(2):297–346, 2001.

[Ken08] Richard Kenyon. Height fluctuations in the honeycomb dimer model. Communications in Mathematical Physics, 281(3):675–709, 2008.

[Ken09] Richard Kenyon. Lectures on dimers. arXiv preprint arXiv:0910.3129, 2009.

[KO07] Richard Kenyon and Andrei Okounkov. Limit shapes and the complex burgers equation. Acta Mathematica, 199(2):263–302, 2007.

[KOS06] Richard Kenyon, Andrei Okounkov, and Scott Sheffield. Dimers and amoebae. Annals of mathematics, pages 1019– 1056, 2006.

[She05] Scott Sheffield. Random surfaces. Astrisque, 304, 2005.

[She07] Scott Sheffield. Gaussian free fields for mathematicians. Probability theory and related fields, 139(3):521–541, 2007.