mathphysschool

Точная решаемость в квантовой механике

Куратор: Прокофьев Вадим

Аннотация: В курсе квантовой механики централное место заеимает решение уравнения Шредингера. Обычно одномерные уравнения Шредингера различаются разными потенциалами. Некоторые из них, как например гармонический, хорошие, позволяют найти спектр задачи и даже построить собственные функции. В рамках данной темы мы дадим понятие (квази-)точно решаемости, рассмотрим этот феномен на примере одночасичных и много частичных задач как обычной так и дискретной квантовой механике. Кроме того исследуем точно решаемых моделей с симметрическими полиномами, представлениями обычных и квантовых групп, а также интегрируемыми системами.

Пререквизиты: Квантовая механика. Представления и структурная теория алгебр Ли (sl_n). Желательно знакомство интегрируемыми системами типа Калоджеро-Руйсенаарса, а также понимание того, что такое квнтовые группы.

  1. Точно решаемые потенциалы в квантовой механике :

    • Определение (квази )точно решаемых потенциалов. Связь с алгеброй sl_2 [1]

    • Суперпотенциал и форминвариантность. [2,3]

  2. Дискретная квантовая механика:

    • Определение “дискретной квантовой механики. Примеры. [3]

    -(*) Точная решаемость и представления U_q(sl_2). [4]

    • Спектральная двойственность. [3]

  3. Многочастичные системы на примере полиномов Джека:

    • Решение квантового тригонометрического Калоджеро.[5 Гл 3.4.2]

    • Полиномы Джека как обобщенные характеры.[6]

  4. Многочастичные системы на примере полиномов Макдонольда:

    • Решение квантового тригонометрического Руйсенаарса.[5 Гл 3.4.3]

    • Полиномы Макдональда как обобщенные характеры.[7]

    • Спектральная дойственность [8 Гл 6]

Литература

[1] A. V. Turbiner - “One-dimensional quasi-exactly solvable Schrödinger equations”

[3] R. Sasaki - “Exactly Solvable Quantum Mechanics”

[3] S. Odake, R. Sasaki - “Discrete Quantum Mechanics”

[4] P. B. Wiegmann, A. V. Zabrodin - “Algebraization of difference eigenvalue equations related to U_q(sl_2)” +

[5] G. Arutyunov - “Elements of classical and quantum integrable systems”

[6] P. I. Etingof - “Quantum integrable systems and representations of Lie algebras”

[7] P. I. Etingof, A. Kirillov Jr. - “Macdonald’s polynomials and representations of quantum groups”

[8] I. G. Macdonald - “Symmetric Functions and Hall polynomials”