Кураторы: Анфиса Гуренкова Илья Толстухин
Мотивация: существует красивая связь между классическими задача- ми теории пересечений в грассманианах и квантовыми интегрируемыми системами через модель Годена и анзац Бете. Эта связь открывает новый взгляд на оба мира: физические методы позволяют доказывать новые результаты, например теоремы о вещественности в исчислении Шуберта, а геометрия грассманианов проясняет структуру спектра интегрируемой модели.
Цель: обсудить соответствие между (i) пересечениями многообразий Шуберта в грассманианах, (ii) спектром коммутативной алгеброй Годена и анзацем Бете для sl_r, (iii) безмонодромными операми на P^1, а также приложения этого соответствия к результатам вещественности в исчислении Шуберта (теорема Мухина–Тарасова–Варченко).
Пререквизиты: Знать неприводимые конечномерные представления
Грассманианы и исчисление Шуберта:
Грассманиан Gr(r, N), флаги [1].
Многообразия Шуберта Ω_λ(F_•) и классы Шуберта в H^∗(Gr(r, N),Z)[1].
Структурные константы в базисе Шуберта (коэффициенты Литтлвуда–Ричардсона) и интерпретация как чисел пересечений [1].
Невырожденные r-подпространства, относительный результант, производящая функция пересечения Шуберта [3]
Осциллирующие флаги на рациональной нормальной кривой, постановка перечислительных задач [2].
Модель Годена и анзац Бете:
Гамильтонианы Годена и коммутативность семейства; алгебра Бете A(sl_r) [4].
Анзац Бете (параметры Бете, уравнения Бете, получение собственных векторов) [6].
Классический предел алгебры Бете A(slr) ⊂ S(sl^{+n}_r), метод сдвига инвариантов [5].
Конструкция A(sl_r) через универсальный SL_r-опер. Конструкция через центр на критическом уровне (без доказательства) [13].
Смысл уравнений Бете как условий “безмонодромности” соответствующего опера (на уровне схемы соответствия) [6, 4].
Фуксовы дифференциальные уравнения и оперы:
Фуксовы дифференциальные операторы на P^1: регулярные особенности в z_1, . . . , z_n, ∞ [3].
Фуксовы дифференциальные операторы с базисом из полиномиальные решений [3]
Вронскиан пространства решений, пространства многочленов с заданным вронскианом [2, 3].
Минимальная схема “безмонодромности”: отсутствие логарифмических членов в локальных разложениях решений [6].
GL_r/SL_r-оперы и нормальная форма (скалярный оператор порядка r) [6].
Связь с моделью Годена, примеры для sl_r и тензорных степеней тавтологических представлений [3].
Соответствие: пересечения Шуберта ↔ оперы ↔ решения Бете:
Осциллирующая задача Шуберта на Gr(r, N) (флаги F_•(z_i) на рациональной нормальной кривой) [2, 8].
Формулировка MTV-соответствия: точки нулемерного пересечения ↔ собственные данные алгебры Годена ↔ безмонодромные sl_r-оперы на P^1 [8, 6].
Роль вронскиана и полиномиальных пространств решений (геометрический мост к Gr(r, N)) [8, 2].
Вещественность и гипотеза Шапиро: приложения
Теорема Мухина–Тарасова–Варченко (бывшая гипотеза Шапиро–Шапиро для грассманианов): при z_i ∈ R осциллирующее пересечение трансверсально и все решения вещественны [8].
Доказательство: вещественность и простота спектра самосопряженных операторов Годена при вещественных z_i и перенос на геометрию пересечений через соответствие МТВ [8, 2].
Частный случай через рациональные функции: критические точки на R ⇒ вещественность (после дробно-линейной нормировки) [10].
Литература
[1] W. Fulton, Young Tableaux: With Applications to Representation Theory and Geometry, Camb. Univ. Press, 1997.
[2] F. Sottile, Frontiers of Reality in Schubert Calculus, arXiv:0907.1847 (2009).
[3] I. Scherbak, A theorem of Heine–Stieltjes, the Wronski map, and Bethe vectors in the slp Gaudin model, arXiv:math/0211377 (2003).
[4] B. Feigin, E. Frenkel, N. Reshetikhin, Gaudin model, Bethe ansatz and critical level, Comm. Math. Phys. 166 (1994), 27–62.
[5] Л. Г. Рыбников, Метод сдвига инвариантов и модель Годена, Функц. ан. и прил., т.4, вып.3, стр.30-43, ссылка
[6] E. Frenkel, Gaudin model and opers, arXiv:math/0407524 (2004).
[7] E. Frenkel, Langlands Correspondence for Loop Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 103, Cambridge University Press, 2007.
[8] E. Mukhin, V. Tarasov, A. Varchenko, The B. and M. Shapiro conjecture in real algebraic geometry and the Bethe ansatz, Ann. of Math. 170 (2009), no. 2, 863–881.
[9] E. Mukhin, V. Tarasov, A. Varchenko, Schubert calculus and representations of the general linear group, J. Amer. Math. Soc. 22 (2009), no. 4, 909–940.
[10] A. Eremenko, A. Gabrielov, Elementary proof of the B. and M. Shapiro conjecture for rational functions, arXiv:math/0512370 (2005).
[11] E. Mukhin, A. Varchenko, Norm of a Bethe Vector and the Hessian of the Master Function, arXiv:math/0402349 (2004).
[12] A. Varchenko, Bethe Ansatz for Arrangements of Hyperplanes and the Gaudin Model, arXiv:math/0408001 (2004).
[13] A. Chervov, D. Talalaev, Universal G-oper and Gaudin eigenproblem, Institute for Theoretical and Experimental Physics (ITEP), arXiv:/hep-th/0409007