mathphysschool

Турбуленция

Кураторы: Алексей Михайленко, Даниил Лопатин, Евгений Кудряшев

Аннотация: Турбулентность — одно из наиболее распространенных явлений в физике. Она наблюдается повсеместно: от атмосферных и океанических течений до плазмы в космосе, квантовых жидкостей и волн на воде. С теоретической точки зрения турбулентность представляет собой фундаментальную проблему неравновесной статистической механики: это состояние системы с огромным числом возбужденных степеней свободы, в котором энергия и другие инварианты переносятся через масштабы посредством нелинейного взаимодействия. В рамках школы планируется познакомиться как с основами классической теории, так и с современными исследованиями, описывающими нарушение универсальности спектров, влияние нелокальных взаимодействий, многопетлевых диаграмм и т.д.

Пререквизиты: Основы квантовой теории поля или физики конденсированного состояния

  1. Турбулентность. Введение и статистическое описание [Fal;ZLF92; Zak65]:

    • Идея каскада, Re ≫ 1, передача энергии от больших вихрей малым (Ричардсон), E(k) = Ckε^2/3 k^{−5/3}(Колмогоров, Обухов), инерционный масштаб ε = const, локальность в k-пространстве, универсальность (не зависит от механизма накачки и диссипации). Сильная турбулентность - отсутствует малый параметр. Слабая турбулентность (малая нелинейность, дисперсия волн). Примеры: плазма, волны на воде, нелинейная оптика

    • Гамильтонов формализм

      • Канонические переменные, H = H_2 + H_int

      • 3-ех и 4-ех волновые процессы

      • Закон дисперсии: распадный, нераспадный

    • Канонические преобразования → исключаем нерезонансные члены

    • Приближение случайных фаз

    • Вывод кинетического уравнения. Св-ва: з-ны сохранения энергии, числа волн, импульса. H-теорема, Планк, Рэлей-Джинс

    • НУШ, спиновые волны

  2. Спектры Колмогорова-Захарова (KZ) [ZLF92]:

    • Размерный анализ и масштабная инвариантность, самоподобие

    • Преобразования Захарова - факторизация интеграла столкновений (его нули - равновесный спектр и KZ)

    • Критерии сходимости интегралов столкновений на спектре KZ - взаимодействие волн со схожими масштабами

    • Устойчивость спектров KZ (лин. кинетического уравнения, структурная неустойчивость: малая анизотропия накачки → сильно анизотропный каскад)

  3. Кинетическое уравение в приближении сильной и слабой турбулентности [RS24b; RS24a; HR25]:

    • Последовательный вывод интегралов столкновений в различных приближениях на примере нелинейного уравнения Шредингера.

      • NLO по λ

      • NLO по 1/N

  4. Решения НУШ + нарушение универсальности [RF25; RF24]:

    • Вывод стационарных и самоподобных решений для нелинейного уравнения Шредингера в режиме сильной турбулентности (1/N), качественный анализ влияния поправок следующего по λ поправок в режиме слабой турбулентности.

    • Нарушение универсальности: появление зависимости от ИК-масштаба за счет нелокальности при учете многопетлевых вкладов в интеграле столкновений.

    • Границы применимости колмогоровского спектра.

  5. Лиувилль [Ros+24; RS24c]

    • Альтернативный метод изучения волновой турбулентности заключается в усреднении по фазовому пространству, вместо того чтобы вводить внешнее воздействие и диссипацию.

    Литература

    [Fal] Gregory Falkovich. “Turbulence”. В: (). url: https://www.weizmann.ac.il/complex/falkovich/sites/complex.falkovich/files/uploads/turbulence.pdf.

    [HR25] Xu-Yao Hu и Vladimir Rosenhaus. “Beyond the Boltzmann equation for weakly coupled quantum fields”. В: (2025). arXiv: 2503.09932v2 [hep-th].

    [RF24] Vladimir Rosenhaus и Gregory Falkovich. “Interaction renormalization and validity of kinetic equations for turbulent states”. В: (2024). arXiv: 2308.00033v3 [hep-th].

    [RF25] Vladimir Rosenhaus и Gregory Falkovich. “Weak and strong turbulence in self-focusing and defocusing media”. В: (2025). arXiv: 2501.12451v1 [physics.flu-dyn].

    [Ros+24] Vladimir Rosenhaus и др. “Loop diagrams in the kinetic theory of waves”. В: (2024). arXiv: 2308.00740v2[hep-th].

    [RS24a] Vladimir Rosenhaus и Daniel Schubring. “Strong wave turbulence in strongly local large N theories”. В:(2024). arXiv: 2406.18475v1 [hep-th].

    [RS24b] Vladimir Rosenhaus и Michael Smolkin. “Feynman rules for forced wave turbulence”. В: (2024). arXiv:2203.08168v4 [cond-mat.stat-mech].

    [RS24c] Vladimir Rosenhaus и Michael Smolkin. “Wave turbulence and the kinetic equation beyond leading order”. В: (2024). arXiv: 2212.02555v2 [cond-mat.stat-mech].

    [Zak65] V.E. Zakharov. “Weak turbulence in media with a decay”. В: ZH. PRIKLAD. MEKH. TEKH. FIZ. (1965). url: https : / / zakharov75 . itp . ac . ru / static / local / zve75 / zakharov / 1965 / 1965 - 01 - art3A10.10072FBF01565814.pdf.

    [ZLF92] V.E. Zakharov, V.S. L’vov и G. Falkovich. Kolmogorov Spectra of Turbulence I. 1992.