mathphysschool

Твисторы и ADHM конструкция

Куратор: Артём Сидоренко

Аннотация: Теория Янга–Миллса не только имеет широкое применения в современной физике, но так же представляет интерес и с точки зрения интегрируемости - различные редукции уравнений (анти-)самодуальности для полей Янга–Миллса позволяют получать широкий класс интегрируемых систем математической физики, таких как уравнения Кортевега – де Фриза, цепочки Тоды и многие другие. Исследование этой связи и будет основной целью данной секции.

Ключевым инструментом для анализа уравнений (анти-)самодуальности является твисторный форма- лизм, первоначально введённый Р. Пенроузом для описания квантовой гравитации. На твисторном языке

данные уравнения приобретают прозрачную геометрическую интерпретацию, что открывает путь к систематическому построению решений — инстантонов, что и называется конструкцией Атьи – Дринфельда – Хитчина – Манина (ADHM).

Основной задачей будет описание ADHM конструкции, а так же по возможности ее следствия для редук- ций уравнений анти-самодуальности.

Пререквизиты: Анализ на многообразиях, комплексные расслоения, связности. Желательно, но необя- зательно, знать про КдФ.

  1. Теория Янг-Миллса, редукции:

    • Уравнения анти-самодуальности(ASDYM), пара Лакса для ASDYM, уравнение Янга [1; главы 2, 3]

    • Редукции к системе Тоды, КдФ [1; главы 4-6]

  2. Теория твисторов [1; главы 9, 10], [2; главы 1, 2]:

    • Компактификация комплексицированного пространства Минковского, многообразие флагов, пространство твисторов, α и β плоскости, связь с уравнениями анти-самодуальности.

    • Спинорное описание.

  3. Преобразование Пенроуза - Уорда:

    • Соответствие между анти-самодуальными полями и голоморфными расслоениями над пространством твисторов [1, глава 9], [2, глава 8].

    • Прямое и обратное преобразования Пенроуза-Уорда, анзац Атьи-Уорда [1, глава 10], [2, глава 8].

  4. ADHM - конструкция [1, глава 10], [2, глава 8]:

    • Монады, анзац т-Хоофта.

    • Построение инстантонных решений для SU(2).

  5. Редукции преобразования Пенроуза-Уорда:

    • Симметрии твисторного соответствия, спинорное описание [1, глава 11].

    • Комплесные расслоения, соответствующие КдФ [1, глава 12].

Литература

Основная: [1] N. M. J. Woodhouse, Lionel J. Mason - “Integrability, Self-duality, and Twistor Theory”

[2] R. O. Wells Jr, R. S. Ward - “Twistor geometry and field theory”

Вспомогательная:

[1] Maciej Dunajski - “Solitons, Instantons, and Twistors”

[2] М. Атья - “Геометрия и физика узлов”

[3]. Р. Пенроуз - “Твисторы и калибровочные поля”