mathphysschool

Дифференциалы Штребеля и комбинаторное доказательство гипотезы Виттена

Кураторы: Александр Артемьев

Аннотация: В контексте изучения различных подходов к двумерной квантовой гравитации - “непрерывного” и “дискретного” способов провести суммирование по всем возможным метрическим структурам на двумерных поверхностях - Э. Виттеном была выдвинута нетривиальная гипотеза, описывающая производящий ряд чисел пересечений для определенных классов когомологий на пространствах модулей комплексных кривых. На данный момент существует несколько различных доказательств этой гипотезы, использующих принципиально разные подходы и знания из различных областей математики. В этой теме мы обсудим доказательство, данное М. Концевичем, использующее отображение между пространствами модулей кривых и т.н. “комбинаторным пространством модулей”.

Пререквизиты: иметь представление о геометрии комплексных кривых и теории характеристических классов

  1. Мотивация [MK,DZ1]:

    • Кратко о пространствах модулей кривых M_{g,n}

    • Компактификация Делиня-Мамфорда, определение пси-классов.

    • Числа пересечений пси-классов и формулировка гипотезы Виттена через матричный интеграл.

  2. Дифференциалы Штребеля на гладких кривых [DZ2,EL]:

    • Ассоциированный метрический ленточный граф, построение кривой по ленточному графу.

    • Теорема Штребеля (без доказательства). Обобщение конструкции на стабильные кривые и примеры.

  3. “Минимальная разумная компактификация” KM_(g,n). Отображение KM_(g,n) x R_+^n в клеточный комплекс стабильных ленточных графов А. [DZ2]

  4. Полигональные расслоения над А и расслоения L_i на KM_(g,n). Представление чисел пересечений классов Черна L_i как интегралов по А от кусочно-гладких дифференциальных форм. [DZ2]

  5. Комбинаторное вычисление производящего ряда чисел пересечений. Интерпретация через ряд теории возмущений в матричном интеграле и доказательство гипотезы Виттена. [MK]

Литература:

[DZ1] D. Zvonkine, An introduction to moduli spaces of curves and their intersection theory

[DZ2] D. Zvonkine, Strebel differentials on stable curves and Kontsevich’s proof of Witten’s conjecture

[MK] M. Kontsevich, Intersection Theory on the Moduli Space of Curves and the Matrix Airy Function

[EL] E. Looijenga, Cellular decompositions of compactified moduli spaces of pointed curves

[KS] Kurt Strebel, Quadratic differentials